Considerando as funções a seguir. determine suas derivadas utilizando a regra da cadeia.
\ln \left(2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \ln\left(2 x^{2}\right) e pede a sua derivada. Informação relevante que temos:
  • A função é \ln\left(2 x^{2}\right).
  • Precisamos encontrar \dfrac{d}{dx}\left[\ln\left(2 x^{2}\right)\right].
  • Observação sobre domínio: como o argumento do \ln deve ser positivo, \;2x^{2}>0\; para x\neq 0. Portanto a função e sua derivada só fazem sentido para x\neq 0.

Passo 2

Apresento a ferramenta que vamos usar (sem resolver ainda): a regra da cadeia para funções compostas. Se tivermos uma função composta \;f(g(x))\;, a regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}\bigl(f(g(x))\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Explicando cada parte:
  • f é a função externa; f'(u) é a derivada de f em relação ao seu argumento u.
  • g é a função interna; g'(x) é a derivada de g em relação a x.

    A ideia é derivar a função externa avaliando-a no interior e multiplicar pela derivada do interior.

Passo 3

Identificamos as partes da composição na nossa função:
  • Função externa: f(u)=\ln(u).
  • Função interna: g(x)=2x^{2}.

    Agora calculamos as derivadas individuais:
  1. Derivada da externa: sabendo que a derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}, temos
f'(u)=\frac{1}{u}.
Explanação rápida: a derivada de \ln é o inverso do argumento porque \ln cresce mais devagar quando o argumento aumenta; em cálculo isso vem da definição limite e das propriedades da exponencial, mas aqui você pode decorar e entender que \dfrac{d}{du}\ln(u)=\dfrac{1}{u} para u>0.
  1. Derivada do interno: g(x)=2x^{2}. Usamos a regra do poder e a regra da constante:
  • A derivada de x^{2} é 2x (regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
  • Multiplicando pela constante 2 obtemos
g'(x)=2\cdot (2x)=4x.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\ln\left(2 x^{2}\right)\right]=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=\frac{1}{2x^{2}}\cdot 4x.
Agora simplificamos a expressão algébrica passo a passo:
\frac{1}{2x^{2}}\cdot 4x=\frac{4x}{2x^{2}}.
Dividimos numerador e denominador por 2x (isso é válido porque estamos trabalhando para x\neq 0):
\frac{4x}{2x^{2}}=\frac{4x}{2x\cdot x}=\frac{4}{2}\cdot\frac{x}{x\cdot x}=\;2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Portanto a derivada simplificada é \dfrac{2}{x} para x\neq 0.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para prova): usando propriedades do logaritmo, escrevemos
\ln\left(2x^{2}\right)=\ln 2+\ln\left(x^{2}\right)=\ln 2 + 2\ln|x|.
Derivando termo a termo (lembrando que \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq 0):
\frac{d}{dx}\bigl(\ln 2 + 2\ln|x|\bigr)=0 + 2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x},
compatível com o resultado anterior. Isso também reforça por que consideramos x\neq 0.

Resposta

\dfrac{2}{x} (para x\neq 0).

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