Considerando as funções a seguir. determine suas derivadas utilizando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada. Informação relevante que temos:
- A função é
.
- Precisamos encontrar
.
- Observação sobre domínio: como o argumento do
deve ser positivo, para . Portanto a função e sua derivada só fazem sentido para .
Passo 2
Apresento a ferramenta que vamos usar (sem resolver ainda): a regra da cadeia para funções compostas. Se tivermos uma função composta
, a regra da cadeia diz:
Explicando cada parte:
-
é a função externa; é a derivada de em relação ao seu argumento .
-
é a função interna; é a derivada de em relação a .
A ideia é derivar a função externa avaliando-a no interior e multiplicar pela derivada do interior.
Passo 3
Identificamos as partes da composição na nossa função:
- Função externa:
.
- Função interna:
.
Agora calculamos as derivadas individuais:
- Derivada da externa: sabendo que a derivada de
em relação a é , temos
Explanação rápida: a derivada de
é o inverso do argumento porque
cresce mais devagar quando o argumento aumenta; em cálculo isso vem da definição limite e das propriedades da exponencial, mas aqui você pode decorar e entender que
para
.
- Derivada do interno:
. Usamos a regra do poder e a regra da constante:
- A derivada de
é (regra do poder: ).
- Multiplicando pela constante
obtemos
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia:
Agora simplificamos a expressão algébrica passo a passo:
Dividimos numerador e denominador por
(isso é válido porque estamos trabalhando para
):
Portanto a derivada simplificada é
para
.
Passo 5
Verificação alternativa (útil para prova): usando propriedades do logaritmo, escrevemos
Derivando termo a termo (lembrando que
para
):
compatível com o resultado anterior. Isso também reforça por que consideramos
.