2)
No planejamento de um evento ao ar livre, programado para o mês de Maio, a organização considera que a adesão do público depende do estado do tempo. Na tabela a seguir apresentam-se as estimativas do número de espectadores em função do estado do tempo.
Foi ainda pedido ao instituto de meteorologia informação relativa ao estado do tempo no mês de Maio durante os últimos 10 anos, conforme mostrado na tabela a seguir:
Estado do tempo Frequência relativa Estimativa do num. de espectadores
úmido e frio
0.2
5000
úmido e quente
0.15
19500
seco e frio
0.15
29000
seco e quente
0.5
53500
a) Qual o valor esperado do número de espectadores?
b) Considere que os bilhetes de ingresso vão ser vendidos a 10 reais cada. Os custos associados à limpeza e a segurança da área do evento são de 1 real por cada bilhete vendido. Sabe-se que o grupo musical cobrará 160000 reais e que a organização do evento custará 80000 reais (valor que inclui os custos de aluguel de espaço). Sabendo que os organizadores do evento pretendem ter lucro, recomendaria avançar com o evento ou cancelar? Justifique.
Foi ainda pedido ao instituto de meteorologia informação relativa ao estado do tempo no mês de Maio durante os últimos 10 anos, conforme mostrado na tabela a seguir:
úmido e frio | 0.2 | 5000 |
úmido e quente | 0.15 | 19500 |
seco e frio | 0.15 | 29000 |
seco e quente | 0.5 | 53500 |
b) Considere que os bilhetes de ingresso vão ser vendidos a 10 reais cada. Os custos associados à limpeza e a segurança da área do evento são de 1 real por cada bilhete vendido. Sabe-se que o grupo musical cobrará 160000 reais e que a organização do evento custará 80000 reais (valor que inclui os custos de aluguel de espaço). Sabendo que os organizadores do evento pretendem ter lucro, recomendaria avançar com o evento ou cancelar? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente precisa calcular o valor esperado do número de espectadores para o evento. Isso envolve entender a probabilidade de cada estado do tempo e quantas pessoas esperamos em cada situação. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade e valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as diferentes condições do tempo, a frequência relativa de cada uma (que é a probabilidade) e o número estimado de espectadores para cada condição:
- Úmido e frio: frequência = 0,2; espectadores = 5.000
- Úmido e quente: frequência = 0,15; espectadores = 19.500
- Seco e frio: frequência = 0,15; espectadores = 29.000
- Seco e quente: frequência = 0,5; espectadores = 53.500
Passo 3
Agora, para encontrar o valor esperado, vamos multiplicar a frequência de cada condição pelo número de espectadores correspondente e, em seguida, somar todos esses valores. A fórmula do valor esperado $ E(X) $ é:
onde $ P_i $ é a probabilidade de cada condição e $ X_i $ é o número de espectadores nessa condição.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
- Úmido e frio: $ 0,2 \times 5.000 = 1.000 $
- Úmido e quente: $ 0,15 \times 19.500 = 2.925 $
- Seco e frio: $ 0,15 \times 29.000 = 4.350 $
- Seco e quente: $ 0,5 \times 53.500 = 26.750 $
Passo 5
Somando todos esses valores:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos decidir se vale a pena ou não seguir com o evento considerando os custos e receitas. Vamos analisar os custos totais e as receitas esperadas para ver se teremos lucro.
Passo 7
Primeiro, vamos calcular a receita esperada com a venda dos bilhetes. Sabemos que cada bilhete custa 10 reais e o número esperado de espectadores é 35.025.
Passo 8
Agora, vamos calcular os custos associados. Temos:
- Custos de limpeza e segurança: 1 real por bilhete vendido.
- Grupo musical: 160.000 reais.
- Organização do evento: 80.000 reais.
Somando todos os custos:
Passo 9
Para encontrar o lucro, subtraímos os custos totais da receita:
Passo 10
Como o lucro é positivo ($ 75.225 reais $), significa que teremos ganhos com o evento.
Resposta
Recomendo avançar com o evento, pois a organização espera obter um lucro de 75.225 reais.