Um planeta executa uma órbita circular com período T ao redor de uma estrela. Se ela passar a orbitar uma estrela com massa 3 vezes maior que a anterior, à mesma distância, o novo período da órbita seria (a)
(b)
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um planeta que faz uma órbita circular ao redor de uma estrela com um período de tempo $ T $. Aí, a estrela muda: ela fica com 3 vezes a massa original, mas a distância do planeta continua a mesma. Queremos descobrir qual será o novo período da órbita desse planeta. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler e alguns conceitos de Gravitação Universal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ M $ é a massa da estrela, $ m $ é a massa do planeta, e $ r $ é a distância entre eles.
Passo 3
Como o planeta está em órbita circular, essa força gravitacional também é a força centrípeta que mantém o planeta nessa trajetória. A força centrípeta é dada por:
Onde $ v $ é a velocidade do planeta na órbita.
Passo 4
Vamos igualar as duas expressões das forças para encontrar uma relação entre a velocidade $ v $ e os outros parâmetros:
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados e multiplicar ambos os lados por $ r $:
Passo 5
Agora, sabemos que o período da órbita $ T $ está relacionado com a velocidade $ v $ e a distância $ r $ pela fórmula:
Queremos encontrar como $ T $ muda quando a massa $ M $ da estrela muda.
Passo 6
Vamos substituir $ v $ na fórmula do período. Da equação anterior, temos $ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $. Substituindo na expressão de $ T $:
Passo 7
Observamos que o período $ T $ depende de $ \sqrt{\frac{1}{M}} $, ou seja, $ T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} $. Isso significa que se a massa da estrela aumenta, o período diminui de acordo com a raiz quadrada da massa.
Passo 8
Na questão, a massa da estrela passa a ser 3 vezes maior. Então, o novo período $ T_{novo} $ será:
Resposta
O novo período da órbita será $ \frac{T}{\sqrt{3}} $, ou seja, a opção (d) $ \frac{T}{\sqrt{3}} $.