Um planeta hipotético chamado Valnovia tem raio
, massa
e nenhuma atmosfera. Uma sonda espacial de massa
deve ser lançada verticalmente a partir de sua superfície.
Com que energia cinética mínima a sonda deve ser lançada para atingir uma distância
do centro de Valnovia?
Dado: considere
Dado: considere
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física sobre energia cinética necessária para lançar uma sonda espacial do planeta Valnovia. O conteúdo que vamos usar envolve energia potencial gravitacional e conservação de energia. Precisamos calcular a energia cinética mínima que a sonda deve ter para alcançar uma distância de cinco vezes o raio de Valnovia a partir do seu centro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a energia necessária para a sonda alcançar essa distância está relacionada à energia potencial gravitacional do sistema. A energia potencial gravitacional entre dois corpos é dada pela fórmula:
onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa do planeta,
- $ m $ é a massa da sonda,
- $ r $ é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 3
Para a sonda sair da superfície de Valnovia até uma distância $ r_2 = 5 R_V $, precisamos calcular a diferença de energia potencial gravitacional entre esses dois pontos. A energia cinética mínima necessária será essa diferença.
A energia cinética mínima $ K $ é dada por:
Substituindo a fórmula da energia potencial:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
- $ G = 6,67 \times 10^{-11} , \mathrm{m}^3 , \mathrm{kg}^{-1} , \mathrm{s}^{-2} $
- $ M_V = 5,00 \times 10^{23} , \mathrm{kg} $
- $ m = 20,0 , \mathrm{kg} $
- $ R_V = 6,67 \times 10^{6} , \mathrm{m} $
- $ r_2 = 5 R_V = 5 \times 6,67 \times 10^{6} , \mathrm{m} = 3,335 \times 10^{7} , \mathrm{m} $
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculemos $ \frac{1}{R_V} - \frac{1}{r_2} $:
Agora, substituindo de volta na fórmula de $ K $:
Simplificando:
Calculando os números:
Multiplicando por 20,0:
Finalmente, multiplicando por $ \frac{4}{3,335 \times 10^{7}} $:
Resposta
A energia cinética mínima que a sonda deve ter para atingir uma distância de $ 5 R_V $ do centro de Valnovia é aproximadamente $ 8,00 \times 10^{7} , \mathrm{J} $.