Um planeta hipotético chamado Valnovia tem raio RV=6,67 times 10^6 m, massa MV=5,00 times 10^23 kg e nenhuma atmosfera. Uma sonda espacial de massa m=20,0 kg deve ser lançada verticalmente a partir de sua superfície.
(1 , 0) Com que energia cinética mínima a sonda deve ser lançada para atingir uma distância r2=5 RV do centro de Valnovia?
Dado: considere G=6,67 times 10^-11 m^3 /(kg cdot s^2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre energia cinética necessária para lançar uma sonda espacial do planeta Valnovia. O conteúdo que vamos usar envolve energia potencial gravitacional e conservação de energia. Precisamos calcular a energia cinética mínima que a sonda deve ter para alcançar uma distância de cinco vezes o raio de Valnovia a partir do seu centro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a energia necessária para a sonda alcançar essa distância está relacionada à energia potencial gravitacional do sistema. A energia potencial gravitacional entre dois corpos é dada pela fórmula:
U = -G cdot M cdot mr
onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa do planeta,
  • $ m $ é a massa da sonda,
  • $ r $ é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 3

Para a sonda sair da superfície de Valnovia até uma distância $ r_2 = 5 R_V $, precisamos calcular a diferença de energia potencial gravitacional entre esses dois pontos. A energia cinética mínima necessária será essa diferença.
A energia cinética mínima $ K $ é dada por:
r2 = 5 RV
Substituindo a fórmula da energia potencial:
K
Simplificando:
K = Ufinal - Uinicial

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
  • $ G = 6,67 \times 10^{-11} , \mathrm{m}^3 , \mathrm{kg}^{-1} , \mathrm{s}^{-2} $
  • $ M_V = 5,00 \times 10^{23} , \mathrm{kg} $
  • $ m = 20,0 , \mathrm{kg} $
  • $ R_V = 6,67 \times 10^{6} , \mathrm{m} $
  • $ r_2 = 5 R_V = 5 \times 6,67 \times 10^{6} , \mathrm{m} = 3,335 \times 10^{7} , \mathrm{m} $
Substituindo na fórmula:
G = 6,67 times 10^-11 , m^3 , kg^-1 , s^-2

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculemos $ \frac{1}{R_V} - \frac{1}{r_2} $:
1RV - 1r2
Agora, substituindo de volta na fórmula de $ K $:
16,67 times 10^6 - 13,335 times 10^7 = 16,67 times 10^6 - 15 times 6,67 times 10^6 = 16,67 times 10^6 (1 - 15) = 45 times 6,67 times 10^6
Simplificando:
K
Calculando os números:
K = 6,67 times 10^-11 cdot 5,00 times 10^23 cdot 20,0 cdot 45 times 6,67 times 10^6
Multiplicando por 20,0:
K = 6,67 times 10^-11 cdot 5,00 times 10^23 cdot 20,0 cdot 43,335 times 10^7
Finalmente, multiplicando por $ \frac{4}{3,335 \times 10^{7}} $:
K = 6,67 times 10^-11 times 5,00 times 10^23 = 3,335 times 10^13

Resposta

A energia cinética mínima que a sonda deve ter para atingir uma distância de $ 5 R_V $ do centro de Valnovia é aproximadamente $ 8,00 \times 10^{7} , \mathrm{J} $.

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