Um planeta hipotético chamado Valnovia tem raio
, massa
e nenhuma atmosfera. Uma sonda espacial de massa
deve ser lançada verticalmente a partir de sua superfície.
Se a sonda for lançada com energia cinética inicial de
, qual será sua energia cinética quando estiver a uma distância
do centro de Valnovia?
Dado: considere
Dado: considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um planeta chamado Valnovia com raio $ R_V = 6,67 \times 10^{6} $ metros e massa $ M_V = 5,00 \times 10^{23} $ kg. Não tem atmosfera, então a sonda pode subir sem problemas de resistência do ar. A sonda tem massa $ m = 20,0 $ kg e é lançada com uma energia cinética inicial de $ 1,50 \times 10^{8} $ J. Queremos descobrir qual será a energia cinética da sonda quando ela estiver a uma distância $ r_1 = 4 R_V $ do centro de Valnovia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e a conservação da energia mecânica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um sistema conservativo (sem perdas de energia) é a soma da energia cinética (EC) e da energia potencial gravitacional (EUG). A conservação da energia nos diz que essa soma permanece constante durante o movimento. A fórmula é:
Passo 3
A energia cinética inicial já foi dada: $ EC_{inicial} = 1,50 \times 10^{8} $ J.
Agora, precisamos calcular a energia potencial gravitacional inicial. A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional $ 6,67 \times 10^{-11} , m^3/kg \cdot s^2 $
- $ M $ é a massa do planeta $ 5,00 \times 10^{23} $ kg
- $ m $ é a massa da sonda $ 20,0 $ kg
- $ R $ é a distância do centro do planeta até onde a sonda está
Passo 4
No ponto inicial, a sonda está na superfície de Valnovia, então $ R = R_V = 6,67 \times 10^{6} $ m. Vamos calcular $ EUG_{inicial} $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, na altura final, a sonda está a $ r_1 = 4 R_V = 4 \times 6,67 \times 10^{6} = 2,668 \times 10^{7} $ m do centro de Valnovia. Vamos calcular a energia potencial gravitacional final $ EUG_{final} $:
Simplificando:
Passo 6
Agora aplicamos a conservação da energia:
Substituindo os valores:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 7
Para encontrar $ EC_{final} $, basta somar $ 2,50 \times 10^{7} , J $ aos dois lados:
Resposta
A energia cinética da sonda a $ 4 R_V $ do centro de Valnovia será de $ 7,50 \times 10^{7} , J $.