. Para um planeta se movendo numa orbita eliptica de ecentricidade \epsilon, no campo gravitacional do sol, mostre que a razão entre as velocidades máxima e mínima do planeta é (1+\epsilon) /(1-\epsilon).

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a razão entre a velocidade máxima e a velocidade mínima do planeta é \dfrac{1+\epsilon}{1-\epsilon}, onde \epsilon é a excentricidade da órbita elíptica.
Informações relevantes (que vamos usar):
\epsilon é a excentricidade da elipse;
a órbita é elíptica em torno do Sol (campo gravitacional central);
denotamos por a o semi‑eixo maior da elipse;
o periélio (ponto mais próximo do Sol) tem distância
r_p = a(1-\epsilon)
e o afélio (ponto mais distante) tem distância
r_a = a(1+\epsilon).
Não fizemos ainda nenhuma conta — aqui só listamos o que o problema envolve.

Passo 2

Vamos usar conservação da energia mecânica (por unidade de massa) para órbitas keplerianas. Definimos a energia específica (energia por unidade de massa) como
\mathcal{E}=\frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r},
onde v é a velocidade escalar do planeta em um ponto de distância r do Sol, G é a constante gravitacional e M é a massa do Sol. Para uma órbita elíptica ligada existe a relação padrão (resultado clássico da mecânica orbital)
\mathcal{E}=-\frac{GM}{2a},
onde a é o semi‑eixo maior da elipse. Essa igualdade significa que a energia total do corpo é negativa e está ligada geometricamente a a. Igualando as duas expressões de \mathcal{E} obtemos a chamada equação vis‑viva:
\frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{2a}.
Isolando v^2 temos
v^2 = GM\!\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).
Explicando cada símbolo: v = velocidade escalar no ponto de distância r; r = distância ao Sol nesse ponto; a = semi‑eixo maior; GM = produto da constante gravitacional pelo massa do Sol (isso tem dimensões de \text{(comprimento)}^3/\text{tempo}^2).

Passo 3

Agora avaliamos a velocidade no periélio ( r=r_p) e no afélio ( r=r_a) usando a fórmula da vis‑viva. Primeiro para o periélio:
v_p^2 = GM\!\left(\frac{2}{r_p}-\frac{1}{a}\right).
Substituindo r_p=a(1-\epsilon) (informação do Passo 1) obtemos
v_p^2 = GM\!\left(\frac{2}{a(1-\epsilon)}-\frac{1}{a}\right).
Colocando em evidência GM/a:
v_p^2 = \frac{GM}{a}\!\left(\frac{2}{1-\epsilon}-1\right).
Fazendo a subtração dentro do parêntese:
\frac{2}{1-\epsilon}-1=\frac{2-(1-\epsilon)}{1-\epsilon}=\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}.
Logo
v_p^2 = \frac{GM}{a}\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}.

Passo 4

Agora para o afélio:
v_a^2 = GM\!\left(\frac{2}{r_a}-\frac{1}{a}\right).
Substituindo r_a=a(1+\epsilon) obtemos
v_a^2 = GM\!\left(\frac{2}{a(1+\epsilon)}-\frac{1}{a}\right) = \frac{GM}{a}\!\left(\frac{2}{1+\epsilon}-1\right).
Calculando a diferença:
\frac{2}{1+\epsilon}-1=\frac{2-(1+\epsilon)}{1+\epsilon}=\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}.
Portanto
v_a^2 = \frac{GM}{a}\cdot\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon}.

Passo 5

Queremos a razão entre a velocidade máxima e a mínima. A velocidade é máxima no periélio (menor r) e mínima no afélio (maior r), então calculamos
\frac{v_p}{v_a}=\sqrt{\frac{v_p^2}{v_a^2}}=\sqrt{\frac{\dfrac{GM}{a}\cdot\dfrac{1+\epsilon}{1-\epsilon}}{\dfrac{GM}{a}\cdot\dfrac{1-\epsilon}{1+\epsilon}}}.
Cancelando \dfrac{GM}{a} e simplificando o quociente dentro da raiz:
\frac{v_p}{v_a}=\sqrt{\frac{(1+\epsilon)/(1-\epsilon)}{(1-\epsilon)/(1+\epsilon)}}=\sqrt{\frac{(1+\epsilon)^2}{(1-\epsilon)^2}}=\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}.

Resposta

\dfrac{1+\epsilon}{1-\epsilon}

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