. Para um planeta se movendo numa orbita eliptica de ecentricidade \epsilon, no campo gravitacional do sol, mostre que a razão entre as velocidades máxima e mínima do planeta é (1+\epsilon) /(1-\epsilon).
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a razão entre a velocidade máxima e a velocidade mínima do planeta é \dfrac{1+\epsilon}{1-\epsilon}, onde \epsilon é a excentricidade da órbita elíptica.
Informações relevantes (que vamos usar): \epsilon é a excentricidade da elipse;
a órbita é elíptica em torno do Sol (campo gravitacional central);
denotamos por a o semi‑eixo maior da elipse;
o periélio (ponto mais próximo do Sol) tem distância
r_p = a(1-\epsilon)
e o afélio (ponto mais distante) tem distância
r_a = a(1+\epsilon).
Não fizemos ainda nenhuma conta — aqui só listamos o que o problema envolve.
Passo 2
Vamos usar conservação da energia mecânica (por unidade de massa) para órbitas keplerianas. Definimos a energia específica (energia por unidade de massa) como
\mathcal{E}=\frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r},
onde v é a velocidade escalar do planeta em um ponto de distância r do Sol, G é a constante gravitacional e M é a massa do Sol. Para uma órbita elíptica ligada existe a relação padrão (resultado clássico da mecânica orbital)
\mathcal{E}=-\frac{GM}{2a},
onde a é o semi‑eixo maior da elipse. Essa igualdade significa que a energia total do corpo é negativa e está ligada geometricamente a a. Igualando as duas expressões de \mathcal{E} obtemos a chamada equação vis‑viva:
\frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{2a}.
Isolando v^2 temos
v^2 = GM\!\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).
Explicando cada símbolo: v = velocidade escalar no ponto de distância r; r = distância ao Sol nesse ponto; a = semi‑eixo maior; GM = produto da constante gravitacional pelo massa do Sol (isso tem dimensões de \text{(comprimento)}^3/\text{tempo}^2).
Passo 3
Agora avaliamos a velocidade no periélio (r=r_p) e no afélio (r=r_a) usando a fórmula da vis‑viva. Primeiro para o periélio: