Um planeta de raio R a uma distância d do Sol em equilíbrio térmico com a radiação do Sol \left(L_{\odot}=3,8 \times 10^{26} \mathrm{~W}\right), emit radiação térmica a uma taxa de 4 \pi R^{2} \sigma T^{4}\left(\sigma=5.67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}^{4}\right). Determine a temperatura do planeta a umas distânci d=1,5 \times 10^{11} \mathrm{~m} desprezando reflexão de uma parte da luz incidente, i.e. considerando albedo A=0.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de equilíbrio de um planeta de raio R a uma distância d do Sol, desconsiderando reflexão (albedo A=0).
O conteúdo é o balanço de potência entre a radiação solar absorvida e a emissão de corpo negro do planeta.

Passo 2

A potência solar absorvida pelo planeta é dada por
P_{\text{abs}} = \frac{L_{\odot}}{4\pi d^{2}}\;\times\;\pi R^{2}\;\times(1 - A).
Aqui \dfrac{L_{\odot}}{4\pi d^{2}} é o fluxo solar na órbita, \pi R^{2} é a seção de captação e (1-A) é a fração absorvida.

Passo 3

A potência emitida pelo planeta, como corpo negro à temperatura T, é
P_{\text{emi}} = 4\pi R^{2}\,\sigma\,T^{4},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann.

Passo 4

Em equilíbrio térmico impomos
P_{\text{abs}} = P_{\text{emi}}.
Substituindo e cancelando \pi R^{2}, obtemos
\frac{L_{\odot}(1 - A)}{4\pi d^{2}}\;\pi R^{2} =4\pi R^{2}\,\sigma\,T^{4} \quad\longrightarrow\quad \frac{L_{\odot}(1 - A)}{4\,d^{2}} =4\,\sigma\,T^{4}.

Passo 5

Isolando T, com A=0, resulta
T^{4} =\frac{L_{\odot}}{16\,\sigma\,d^{2}} \quad\Longrightarrow\quad T =\left(\frac{L_{\odot}}{16\,\sigma\,d^{2}}\right)^{1/4}.

Passo 6

Substituindo L_{\odot}=3{,}8\times10^{26}\,\mathrm W, d=1{,}5\times10^{11}\,\mathrm m e \sigma=5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm W/m^{2}K^{4},
T =\Biggl(\frac{3{,}8\times10^{26}}{16\;\pi\;(5{,}67\times10^{-8})\;(1{,}5\times10^{11})^{2}}\Biggr)^{1/4} \approx 278\;\mathrm K.

Resposta

A temperatura de equilíbrio é aproximadamente 278\;\mathrm K.

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