Questão 6. Mostre que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares tem a forma
\frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho} \frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text { e } \quad \frac{\partial v}{\partial \rho}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \theta}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao mudarmos de coordenadas cartesianas (x,y) para coordenadas polares (\rho,\theta) com
x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,
as equações de Cauchy–Riemann
u_x=v_y,\quad u_y=-v_x
se transformam em
\frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial v}{\partial \theta} \quad\text{e}\quad \frac{\partial v}{\partial \rho}=-\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u}{\partial \theta}.
O conteúdo é análise complexa e vamos usar a regra da cadeia para relacionar derivadas parciais cartesianas e polares.

Passo 2

Calcular as derivadas \partial\rho/\partial x, \partial\rho/\partial y, \partial\theta/\partial x e \partial\theta/\partial y. Como
\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta=\arctan\!\bigl(y/x\bigr),
segue-se que
\frac{\partial \rho}{\partial x}=\frac{x}{\rho}=\cos\theta, \quad \frac{\partial \rho}{\partial y}=\frac{y}{\rho}=\sin\theta,
\frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{\rho^2}=-\frac{\sin\theta}{\rho}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{x}{\rho^2}=\frac{\cos\theta}{\rho}.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia para u_x e u_y:
u_x =\frac{\partial u}{\partial \rho}\,\frac{\partial \rho}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial \theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial x} =u_\rho\cos\theta -\frac{u_\theta}{\rho}\sin\theta,
u_y =\frac{\partial u}{\partial \rho}\,\frac{\partial \rho}{\partial y} +\frac{\partial u}{\partial \theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial y} =u_\rho\sin\theta +\frac{u_\theta}{\rho}\cos\theta.

Passo 4

De modo análogo, para v:
v_x =v_\rho\cos\theta -\frac{v_\theta}{\rho}\sin\theta, \quad v_y =v_\rho\sin\theta +\frac{v_\theta}{\rho}\cos\theta.

Passo 5

Impor as equações de Cauchy–Riemann em cartesianas:
u_x=v_y \quad\Longrightarrow\quad u_\rho\cos\theta-\frac{u_\theta}{\rho}\sin\theta = v_\rho\sin\theta+\frac{v_\theta}{\rho}\cos\theta,
u_y=-v_x \quad\Longrightarrow\quad u_\rho\sin\theta+\frac{u_\theta}{\rho}\cos\theta = -\! \Bigl(v_\rho\cos\theta-\frac{v_\theta}{\rho}\sin\theta\Bigr).

Passo 6

Separar as componentes em \cos\theta e \sin\theta nas duas igualdades. Da primeira equação, comparando coeficientes de \cos\theta e \sin\theta, obtém-se
u_\rho = \frac{v_\theta}{\rho}, \quad -\frac{u_\theta}{\rho}=v_\rho.
Reescrevendo, chegam-se às formas finais em coordenadas polares:
\frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial \rho}=-\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u}{\partial \theta}.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial v}{\partial \theta} \quad\text{e}\quad \frac{\partial v}{\partial \rho}=-\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u}{\partial \theta}.

Exercícios relacionados