Questão 6. Mostre que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares tem a forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao mudarmos de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
com
as equações de Cauchy–Riemann
se transformam em
O conteúdo é análise complexa e vamos usar a regra da cadeia para relacionar derivadas parciais cartesianas e polares.
Passo 2
Calcular as derivadas
,
,
e
. Como
segue-se que
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia para
e
:
Passo 4
De modo análogo, para
:
Passo 5
Impor as equações de Cauchy–Riemann em cartesianas:
Passo 6
Separar as componentes em
e
nas duas igualdades. Da primeira equação, comparando coeficientes de
e
, obtém-se
Reescrevendo, chegam-se às formas finais em coordenadas polares: