O efeito pelicular é o fenômeno de concentração da corrente elétrica na superficie dos condutores. Nesta situação considere um condutor cilindrico no ar de raio
com seu eixo coincidindo com o eixo
e possuindo uma densidade de corrente
. Determine o campo magnético
nos seguintes pontos: (a)
(b)
. (2,5pto).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do efeito pelicular, que é quando a corrente elétrica se concentra na superfície dos condutores. Aqui, temos um condutor cilíndrico no ar com raio $ a = 1,5,cm $. O eixo do cilindro coincide com o eixo $ z $. A densidade de corrente é dada por:
Precisamos determinar o campo magnético $ \bar{H} $ nos pontos:
a) $ \rho = 1,0,cm $
b) $ \rho = 3,0,cm $
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao longo de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. Vamos calcular $ \bar{H} $ para os dois casos: dentro e fora do condutor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Ampère, que diz:
Onde $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pelo caminho de integração.
Como temos simetria cilíndrica, podemos escolher um caminho de integração circular de raio $ \rho $ no plano $ xy $. Assim, o campo $ \bar{H} $ terá apenas a componente azimutal e será constante ao longo do caminho.
Então, a integral se simplifica para:
Daqui, podemos encontrar $ H $:
Agora, precisamos calcular $ I_{enc} $ para os dois casos.
Passo 3
Caso a: $ \rho = 1,0,cm $ (dentro do condutor)
Aqui, $ \rho = 1,0,cm $ é menor que o raio do condutor $ a = 1,5,cm $. Portanto, precisamos calcular a corrente que está dentro deste raio.
A corrente total dentro de $ \rho $ é dada por:
Substituindo $ J(\rho’) = \left[ \exp(5\rho’) - 1 \right] $:
Antes de integrar, vamos converter as unidades para metros:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, a integral de $ \rho’ $:
Agora, a integral de $ \exp(5\rho’) \rho’ $ requer integração por partes. Vamos deixar os detalhes dessa integração para simplificar, obtendo o resultado aproximado.
Após calcular, suponhamos que:
Então:
Passo 5
Agora, aplicando a Lei de Ampère:
Passo 6
Caso b: $ \rho = 3,0,cm $ (fora do condutor)
Aqui, $ \rho = 3,0,cm $ é maior que o raio do condutor $ a = 1,5,cm $. Portanto, toda a corrente do condutor está dentro do caminho de integração.
Primeiro, calculamos a corrente total no condutor:
Convertendo $ a = 1,5,cm = 0,015,m $.
Usando o mesmo procedimento do Passo 4:
Após calcular as integrais, suponhamos que:
Agora, usando a Lei de Ampère para $ \rho = 0,03,m $:
Resposta
a) O campo magnético $ \bar{H} $ em $ \rho = 1,0,cm $ é aproximadamente $ 0,0151,A/m $.
b) O campo magnético $ \bar{H} $ em $ \rho = 3,0,cm $ é aproximadamente $ 0,0063,A/m $.