Em uma região do ar existe um campo uniforme barB=6 barax-10 baray+8 baraz(mWb / m^2), um elemento de corrente I d l=2 barax-5 baray+4 baraz (Am) no ponto A(x=2 cm ; y=3 cm ; z=3 cm) e uma espira de corrente com momento magnético barm=3 barax+5 baray-9 baraz(Am^2) no ponto B(x=5 cm ; y=9 cm ; z=3 cm), calcule: o torque magnético do elemento de corrente sobre a espira.

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado nos dá e o que vamos usar aqui. Temos:
  1. Um elemento de corrente no ponto A com I, dvec l = 2,hat ax - 5,hat ay + 4,hat az(Acdot m),
  2. Uma espira no ponto B com momento magnético vec m = 3,hat ax +5,hat ay -9,hat az(Acdot m^2),
    3) A distância entre A e B dada pelos seus vetores posição.
    Conteúdo: Lei de Biot–Savart para achar o campo vec B criado pelo elemento de corrente no ponto B e depois torque magnético de um dipolo num campo: vectau=vec mtimesvec B,
Ferramentas: produto vetorial, norma de vetor e constantes (usamos mu0/4pi=10^-7,H/m).

Passo 2

Primeiro, montamos o vetor que liga A a B:
vec r=vec rB-vec rA=(5-2,,9-3,,3-3),cm=(3,6,0),cm=(0,03,0,06,0), m,
A norma é
r=|vec r|=raiz0,03^2+0,06^2+0^2approx0,06708 m,

Passo 3

Agora usamos a Lei de Biot–Savart no ponto B:
dvec B=mu04pi,I, dvec ltimesvec rr^3,
Calculemos o produto vetorial:
$$I,\mathrm d\vec l\times\vec r=
I, dvec ltimesvec r= hat ax & hat ay & hat az 2&-5&4 0,03&0,06&0 =(-0,24),hat ax+(0,12),hat ay+(0,27),hat az(Acdot m^2),
=(-0{,}24),\hat a_x+(0{,}12),\hat a_y+(0{,}27),\hat a_z\quad(\mathrm{A\cdot m^2}),. vec B=10^-7r^3,(-0,24,,0,12,,0,27) T =10^-7(0,06708)^3(-0,24,,0,12,,0,27)approx(-7,95,,3,98,,8,95)times10^-5, T, ã\vec B=\frac{10{-7}}{r3},(-0{,}24,,0{,}12,,0{,}27)\quad\mathrm T
=\frac{10{-7}}{(0{,}06708)3}(-0{,}24,,0{,}12,,0{,}27)\approx(-7{,}95,,3{,}98,,8{,}95)\times10^{-5},\mathrm T,. $$

Passo 4

Com vec B em mãos, calcula o torque no dipolo:
vectau=vec mtimesvec B,
Fazendo o determinante:
$$
\vec\tau=
vectau= hat ax&hat ay&hat az 3&5&-9 -7,95times10^-5&3,98times10^-5&8,95times10^-5 approx(8,05times10^-4),hat ax+(4,47times10^-4),hat ay+(5,17times10^-4),hat az Ncdot m,
\approx(8{,}05\times10^{-4}),\hat a_x+(4{,}47\times10^{-4}),\hat a_y+(5{,}17\times10^{-4}),\hat a_z\ \mathrm{N\cdot m},. $$

Resposta

boxedvectauapproxl(8,05times10^-4r),hat ax+l(4,47times10^-4r),hat ay+l(5,17times10^-4r),hat az(Ncdot m),

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