Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Em todo triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
(b) Se dois diedros de um triedro medem respectivamente 40^{\circ} e 70^{\circ}, o terceiro diedro pode medir 70^{\circ}.
(c) Se um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
(d) Se um plano intercepta as arestas de um triedro nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
(e) Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas.
(f) Três retas r, s e t incidentes num ponto V determinam 8 triedros.
(g) Três retas r, s e t não coplanares e incidentes num ponto V determinam 8 triedros.
(h) Se dois triedros são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
Passo 1
O que o enunciado pede: classificar cada uma das afirmações (a) a (h) como verdadeira (V) ou falsa (F).
As afirmações são:
(a) Em todo triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
(b) Se dois diedros de um triedro medem respectivamente 40^\circ e 70^\circ, o terceiro diedro pode medir 70^\circ.
(c) Se um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
(d) Se um plano intercepta as arestas de um triedro nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
(e) Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas.
(f) Três retas r, s e t incidentes num ponto V determinam 8 triedros.
(g) Três retas r, s e t não coplanares e incidentes num ponto V determinam 8 triedros.
(h) Se dois triedros são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
Agora vou explicar os conceitos necessários e resolver cada item, passo a passo e com bastante detalhe.
Passo 2
Conceitos úteis (explicação didática, sem pressupor conhecimento prévio):
Triedro (ou trirretângulo quando for o caso): é a figura formada por três semirretas (ou arestas) que partem de um mesmo ponto V. As três semirretas dividem o espaço ao redor de V em três planos (cada plano contém duas das semirretas) e em três “faces” planas que se encontram no vértice V. Cada par de faces forma um diedro; o ângulo entre essas duas faces é chamado de diedro do triedro.
Diedro: o ângulo entre duas faces planas que se interceptam numa aresta. Podemos medir o diedro por um número, por exemplo 40^\circ.
Triedro trirretângulo: é um triedro cujos três diedros são todos retos, isto é, cada diedro mede 90^\circ.
“Face oposta” a uma aresta: num triedro com vértice V e arestas ao longo das semirretas VA, VB, VC, a face oposta à aresta VA é a face que não contém VA; no exemplo, a face oposta a VA é a que contém VB e VC.
Dois triedros são “opostos pelo vértice” se se obtém um a partir do outro trocando cada semirreta por sua semirreta oposta (ou seja, invertendo todas as direções em relação ao vértice).
Com isso em mente, vamos analisar cada item, explicando e demonstrando.
Passo 3
Afirmação (a): “Em todo triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.”
Explicação/ Demonstração passo a passo, de forma concreta:
Num triedro trirretângulo as três faces se encontram duas a duas formando diedros de 90^\circ. Isso significa que cada par de planos é perpendicular.
Tome as três faces \alpha,\beta,\gamma e seus vetores normais \mathbf{n}_\alpha,\mathbf{n}_\beta,\mathbf{n}_\gamma. Para planos perpendiculares vale que seus vetores normais são perpendiculares entre si.
Considere a aresta VA que é a interseção dos planos \alpha e \beta. A direção dessa aresta é dada por \mathbf{d}=\mathbf{n}_\alpha\times\mathbf{n}_\beta.
Se o terceiro plano \gamma é perpendicular a \alpha e a \beta, então \mathbf{n}_\gamma é perpendicular a \mathbf{n}_\alpha e a \mathbf{n}_\beta. Logo \mathbf{n}_\gamma é paralelo a \mathbf{n}_\alpha\times\mathbf{n}_\beta, isto é, \mathbf{n}_\gamma é paralelo a \mathbf{d}.
Como \mathbf{n}_\gamma é normal ao plano \gamma e é paralelo à direção da aresta VA, resulta que VA é perpendicular ao plano \gamma (a face oposta).
Intuição mais simples: pense nas três faces como os três planos coordenados xy, xz, yz. A aresta ao longo do eixo x é perpendicular ao plano yz, etc. Isso mostra que cada aresta é perpendicular à face oposta.
Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (b): “Se dois diedros de um triedro medem respectivamente 40^\circ e 70^\circ, o terceiro diedro pode medir 70^\circ.”
Interpretação e estratégia:
A pergunta é se existe um triedro cujos três diedros tenham medidas 40^\circ, 70^\circ e 70^\circ. Em outras palavras, será que é possível ter três planos que se interceptam em V com os ângulos (entre planos) dados?
Uma forma de decidir isto é pensar em vetores normais unitários \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3 das três faces. O ângulo entre planos é o ângulo entre os respectivos vetores normais. Queremos vetores unitários com ângulos \angle(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2)=40^\circ, \angle(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_3)=70^\circ, \angle(\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3)=70^\circ.
A existência de tais vetores pode ser verificada analisando a matriz de Gram G cujas entradas são \cos dos ângulos desejados:
Se G for definida positiva (determinante positivo), então existem vetores unitários no \mathbb{R}^3 com esses produtos escalares, logo existem os planos com esses diedros.
Cálculo numérico (suficiente para garantia de existência):
Valores aproximados: \cos 40^\circ\approx 0{,}7660 e \cos 70^\circ\approx 0{,}3420.
Calcular o determinante (apenas para verificação numérica):
\det G \approx 0{,}3583>0.
Como o determinante é positivo, existe um conjunto de três vetores unitários com os ângulos pedidos, portanto existe um triedro com diedros 40^\circ,70^\circ,70^\circ.
Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira — é possível que o terceiro diedro meça 70^\circ.]
Passo 5
Afirmação (c): “Se um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.”
Demonstração construtiva e intuitiva:
Em um triedro trirretângulo podemos, sem perda de generalidade, colocar as arestas ao longo dos eixos coordenados positivos: as arestas são as semirretas que partem de V e vão em direções \mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z.
Se o plano corta essas três arestas em pontos equidistantes de V, então os pontos têm coordenadas (para uma mesma distância d>0):
Analogamente BC=d\sqrt{2} e CA=d\sqrt{2}. Assim os três lados são iguais, então o triângulo ABC é equilátero.
Conclusão: a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 6
Afirmação (d): “Se um plano intercepta as arestas de um triedro nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.”
Análise e contraexemplo (porque o triedro aqui não é assumido trirretângulo):
No caso geral (triedro qualquer, não necessariamente trirretângulo) as três semirretas podem apontar em direções muito diferentes; cortar cada semirreta à mesma distância d de V dá três pontos que ficam todos sobre a esfera de raio d centrada em V. A interseção dessa esfera com um plano é um círculo; os três pontos estão num mesmo círculo, mas isso não garante que formem um triângulo equilátero.
Contraexemplo numérico simples: escolha três direções próximas entre si para duas arestas e uma direção bem distinta para a terceira. Por exemplo:
Direção da primeira aresta: \mathbf{u}_1=(1,0,0).
Direção da segunda aresta: \mathbf{u}_2=(\cos 10^\circ,\sin 10^\circ,0) (muito próxima da primeira).
Já está claro que AB\neq AC, então o triângulo não é equilátero.
Portanto, em geral a propriedade não é válida sem a hipótese especial de trirretângulo.
Conclusão: a afirmação (d) é falsa.
Passo 7
Afirmação (e): “Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas.”
Interpretação: aqui entende-se “maior” no sentido de medida (por exemplo, medida da área das faces). Mesmo se interpretarmos como comprimento de algum elemento, a afirmação sugere que para as três faces F_1,F_2,F_3 vale F_1>F_2+F_3, F_2>F_1+F_3 e F_3>F_1+F_2 simultaneamente — isso é impossível algebraicamente.
Razão simples:
Suponha, por absurdo, que as áreas (ou medidas) a_1,a_2,a_3 das três faces satisfaçam a_1>a_2+a_3, a_2>a_1+a_3 e a_3>a_1+a_2.
Somando as três desigualdades obtemos
a_1+a_2+a_3 > 2(a_1+a_2+a_3),
o que implica 1>2, absurdo.
Logo não pode acontecer que cada face seja maior que a soma das outras duas.
Conclusão: a afirmação (e) é falsa.
Passo 8
Afirmação (f): “Três retas r, s e t incidentes num ponto V determinam 8 triedros.”
Interpretação e análise:
Se as três retas forem coplanares (todas num mesmo plano que passa por V), então todas as semirretas ficam nesse plano e não se obtêm triedros tridimensionais “no sentido não degenerado”: as três semirretas estão contidas num plano, de modo que não há como formar as três faces não coplanares necessárias para um triedro genuíno (ou, em termos de regiões do espaço, não se formam as 8 regiões volumétricas típicas de três direções independentes).
Portanto a afirmação, tal como formulada sem condicionar que as retas sejam não coplanares, é falsa: é possível ter três retas incidentes e coplanares (por exemplo, três semirretas num mesmo plano) e nesse caso não se formam 8 triedros distintos.
O item (g) trata do caso não coplanar; aqui o enunciado não impõe essa hipótese, então (f) é incorreta em geral.
Conclusão: a afirmação (f) é falsa.
Passo 9
Afirmação (g): “Três retas r, s e t não coplanares e incidentes num ponto V determinam 8 triedros.”
Explicação clara e simples:
Quando as três retas são não coplanares e passam por V, cada reta tem duas semirretas que partem de V em sentidos opostos. Para cada uma das três retas escolhe-se uma das duas semirretas; essa escolha dá uma combinação de sinais (\pm,\pm,\pm). Há 2^3=8 escolhas possíveis.
Cada escolha de uma semirreta em cada reta define um triedro (uma região entre as três faces determinadas pelas semirretas escolhidas). Geometricamente, essas 8 triedros são análogas aos 8 “octantes” do espaço (como os 8 octantes determinados pelos eixos coordenados).
Assim, com a hipótese importante “não coplanares”, obtém-se exatamente 8 triedros distintos.
Conclusão: a afirmação (g) é verdadeira.
Passo 10
Afirmação (h): “Se dois triedros são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.”
Explicação e demonstração:
Dois triedros são opostos pelo vértice se as direções das semirretas de um são exatamente as direções opostas das semirretas do outro (ou seja, trocar cada semirreta por sua semirreta oposta).
A aplicação que leva cada ponto X em \mathbb{R}^3 ao seu simétrico em relação ao ponto V (mapeamento X\mapsto X' = 2V - X) é uma isometria do espaço (chamada simetria central ou reflexão em V). Essa transformação preserva distâncias e transforma cada semirreta em sua semirreta oposta.
Logo a simetria central leva um triedro em seu triedro oposto pelo vértice; sendo isometria, preserva formas e tamanhos, portanto os dois triedros são congruentes (há uma correspondência isométrica entre eles).
Intuição simples: o triedro e seu oposto são relacionados por uma “reflexão no ponto” V, que é uma transformação rígida do espaço.