Em um plano cartesiano, as coordenadas do centro de uma circunferência são
com
e raio
. Essa circunferência tangencia, externamente, a circunferência de equação
Nessas condições, é correto afirmar que o valor de x é
(A) 5 .
(B) 4 .
(C) 6 .
(D) 3 .
(E) 7 .
(A) 5 .
(B) 4 .
(C) 6 .
(D) 3 .
(E) 7 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A circunferência procurada tem centro
com e raio . - Há outra circunferência de equação
. - As duas circunferências tangenciam-se externamente.
A pergunta é: qual é o valor de(entre as opções dadas)?
Passo 2
Vamos extrair o centro e o raio da circunferência dada pela equação
.
Para isso completamos quadrados em e em
.
Para isso completamos quadrados em
Começamos por agrupar termos:
Agora completamos quadrados separadamente:
Substituindo na equação:
Simplificando os termos constantes:
Logo:
Isto mostra que o centro é
e o raio é
(pois
).
Observação didática rápida: completar o quadrado consiste em transformar
em
subtraindo o ajuste necessário; aqui
virou
.
Passo 3
Condição de tangência externa entre duas circunferências: a distância entre os centros é igual à soma dos raios.
Denotando centros
(da circunferência dada) e
(da circunferência procurada), e raios
e
, a condição é
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é
Aplicando aos nossos centros:
Passo 4
Resolvemos a equação obtida. Primeiro calculamos
, então
Ou seja,
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo 9:
Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades):
Assim:
Passo 5
Aplicamos a condição extra dada no enunciado
. Destes dois valores, apenas
satisfaz
. Portanto descartamos
.
Podemos fazer um check rápido: distância entre
e
é
que é exatamente
. Tudo consistente.
Resposta
(A) 5