Em um plano cartesiano, as coordenadas do centro de uma circunferência são (x ; 7) com x>1 e raio (r)=3. Essa circunferência tangencia, externamente, a circunferência de equação x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+13=0
Nessas condições, é correto afirmar que o valor de x é
(A) 5 .
(B) 4 .
(C) 6 .
(D) 3 .
(E) 7 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A circunferência procurada tem centro (x,7) com x>1 e raio 3.
  • Há outra circunferência de equação \,x^{2}+y^{2}-2x-8y+13=0.
  • As duas circunferências tangenciam-se externamente.
    A pergunta é: qual é o valor de x (entre as opções dadas)?

Passo 2

Vamos extrair o centro e o raio da circunferência dada pela equação \,x^{2}+y^{2}-2x-8y+13=0.
Para isso completamos quadrados em x e em y.
Começamos por agrupar termos:
x^{2}-2x + y^{2}-8y +13 = 0.
Agora completamos quadrados separadamente:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-8y = (y-4)^{2}-16.
Substituindo na equação:
(x-1)^{2}-1 + (y-4)^{2}-16 + 13 = 0.
Simplificando os termos constantes:
(x-1)^{2} + (y-4)^{2} -4 = 0.
Logo:
(x-1)^{2} + (y-4)^{2} = 4.
Isto mostra que o centro é (1,4) e o raio é 2 (pois 4=2^{2}).
Observação didática rápida: completar o quadrado consiste em transformar x^{2}+bx em (x+\tfrac{b}{2})^{2} subtraindo o ajuste necessário; aqui -2x virou (x-1)^{2}-1.

Passo 3

Condição de tangência externa entre duas circunferências: a distância entre os centros é igual à soma dos raios.
Denotando centros C_{1}=(1,4) (da circunferência dada) e C_{2}=(x,7) (da circunferência procurada), e raios r_{1}=2 e r_{2}=3, a condição é
\text{dist}(C_{1},C_{2}) = r_{1}+r_{2} = 2+3 = 5.
A fórmula da distância entre dois pontos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) é
\text{dist}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.
Aplicando aos nossos centros:
\sqrt{(x-1)^{2} + (7-4)^{2}} = 5.

Passo 4

Resolvemos a equação obtida. Primeiro calculamos 7-4=3, então
\sqrt{(x-1)^{2} + 3^{2}} = 5.
Ou seja,
\sqrt{(x-1)^{2} + 9} = 5.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x-1)^{2} + 9 = 25.
Subtraindo 9:
(x-1)^{2} = 16.
Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades):
x-1 = 4 \quad\text{ou}\quad x-1 = -4.
Assim:
x = 5 \quad\text{ou}\quad x = -3.

Passo 5

Aplicamos a condição extra dada no enunciado x>1. Destes dois valores, apenas x=5 satisfaz x>1. Portanto descartamos x=-3.
Podemos fazer um check rápido: distância entre (1,4) e (5,7) é
\sqrt{(5-1)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,
que é exatamente 2+3. Tudo consistente.

Resposta

(A) 5

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