Sabe-se que a equação de
grau:
apresenta quatro raízes inteiras, sendo que duas delas são: -2 e 3 . Com essas informações, é correto afirmar que a soma das outras duas raízes é igual a
(A) -28 .
(B) -15 .
(C) 26 .
(D) -1 .
(E) 30 .
(A) -28 .
(B) -15 .
(C) 26 .
(D) -1 .
(E) 30 .
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
sabe-se que tem quatro raízes inteiras e que duas delas são
e
. A pergunta é: qual é a soma das outras duas raízes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O polinômio é de 4.º grau:
. - Duas raízes conhecidas:
e . - As quatro raízes são inteiras.
- Precisa-se encontrar
, a soma das outras duas raízes.
Passo 2
Vamos nomear as raízes por
, com
e
. Usaremos a relação entre coeficientes e somas/produtos das raízes (fórmulas de Viète) para polinômios.
Mini-aula rápida sobre Viète para um polinômio de 4.º grau:
Se um polinômio monico (coeficiente líder igual a 1)
Se um polinômio monico (coeficiente líder igual a 1)
tem raízes
(contando multiplicidades), então a soma das raízes é
Por que isso? Porque ao expandir
o coeficiente de
é
. Isso é tudo o que precisamos neste problema.
Passo 3
Identificar o coeficiente
no polinômio dado. O polinômio é
Note que o termo
está ausente, então
. Aplicando Viète:
Passo 4
Agora substituímos as raízes conhecidas para achar a soma das restantes. Temos
e
, então
Calculando:
Passo 5
(Verificação extra — como você pode proceder na prova se quiser confirmar.)
Como e
são raízes, os fatores
e
dividem o polinômio. Multiplicando esses fatores:
Como
Fazendo a divisão (ou observando o resultado do produto) encontra-se o quociente
pois
As raízes desse quadrático são
e
, cuja soma é
confirmando o resultado anterior.
Resposta
(D)