Sabe-se que a equação de 4^{0} grau: x^{4}-27 x^{2}+14 x+120=0 apresenta quatro raízes inteiras, sendo que duas delas são: -2 e 3 . Com essas informações, é correto afirmar que a soma das outras duas raízes é igual a
(A) -28 .
(B) -15 .
(C) 26 .
(D) -1 .
(E) 30 .

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
x^{4}-27x^{2}+14x+120=0,
sabe-se que tem quatro raízes inteiras e que duas delas são -2 e 3. A pergunta é: qual é a soma das outras duas raízes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O polinômio é de 4.º grau: x^{4}-27x^{2}+14x+120.
  • Duas raízes conhecidas: r_1=-2 e r_2=3.
  • As quatro raízes são inteiras.
  • Precisa-se encontrar r_3 + r_4, a soma das outras duas raízes.

Passo 2

Vamos nomear as raízes por r_1,r_2,r_3,r_4, com r_1=-2 e r_2=3. Usaremos a relação entre coeficientes e somas/produtos das raízes (fórmulas de Viète) para polinômios.
Mini-aula rápida sobre Viète para um polinômio de 4.º grau:
Se um polinômio monico (coeficiente líder igual a 1)
x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0
tem raízes r_1,r_2,r_3,r_4 (contando multiplicidades), então a soma das raízes é
r_1+r_2+r_3+r_4 = -a_{3}.
Por que isso? Porque ao expandir (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4) o coeficiente de x^3 é -(r_1+r_2+r_3+r_4). Isso é tudo o que precisamos neste problema.

Passo 3

Identificar o coeficiente a_{3} no polinômio dado. O polinômio é
x^{4}-27x^{2}+14x+120.
Note que o termo x^{3} está ausente, então a_{3}=0. Aplicando Viète:
r_1+r_2+r_3+r_4 = -a_{3} = -0 = 0.

Passo 4

Agora substituímos as raízes conhecidas para achar a soma das restantes. Temos r_1=-2 e r_2=3, então
r_3+r_4 = -(r_1+r_2) = -\bigl(-2+3\bigr).
Calculando:
-2+3=1, \qquad\text{logo}\qquad r_3+r_4 = -1.

Passo 5

(Verificação extra — como você pode proceder na prova se quiser confirmar.)
Como -2 e 3 são raízes, os fatores (x+2) e (x-3) dividem o polinômio. Multiplicando esses fatores:
(x+2)(x-3)=x^{2}-x-6.
Fazendo a divisão (ou observando o resultado do produto) encontra-se o quociente
x^{2}+x-20,
pois
(x^{2}-x-6)(x^{2}+x-20)=x^{4}-27x^{2}+14x+120.
As raízes desse quadrático são -5 e 4, cuja soma é
-5+4=-1,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

(D) -1

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