No plano complexo, uma das raízes da equação x^{2}-2 x+5=0 é o número
(A) -1
(B) 1-2 i
(C) 2+4 i
(D) 1-4 i
(E) 3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio quadrático x^{2}-2x+5=0 e pergunta qual das alternativas é uma das suas raízes. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é x^{2}-2x+5=0.
  • As alternativas possíveis são:
    • (A) -1
    • (B) 1-2i
    • (C) 2+4i
    • (D) 1-4i
    • (E) 3
  • Precisamos identificar qual dessas alternativas é, de fato, uma raiz da equação.

Passo 2

Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para encontrar as raízes de uma equação do tipo ax^{2}+bx+c=0.
A fórmula é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicando cada termo:
  • a é o coeficiente de x^{2}.
  • b é o coeficiente de x.
  • c é o termo constante.
  • b^{2}-4ac chama-se discriminante e determina a natureza das raízes (real distinta, real dupla ou complexa).
No nosso caso, comparando x^{2}-2x+5 com ax^{2}+bx+c obtemos:
  • a=1,
  • b=-2,
  • c=5.

Passo 3

Calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas (não reais). Para extrair a raiz quadrada de um número negativo usamos a unidade imaginária \,i, definida por \,i^{2}=-1. Portanto
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-16}=4i.

Passo 4

Aplicar a fórmula das raízes com os valores encontrados:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm4i}{2\cdot1}=\frac{2\pm4i}{2}=1\pm2i.
Portanto as duas raízes da equação são 1+2i e 1-2i.

Passo 5

Observação útil (que ajuda na prova): como os coeficientes da equação são números reais, se 1+2i é raiz então seu conjugado 1-2i também é raiz. Isso confirma a simetria encontrada.

Passo 6

Comparar as raízes encontradas com as alternativas: a alternativa (B) é exatamente 1-2i, que é uma das raízes que calculamos. As demais alternativas não coincidem com 1\pm2i.

Passo 7

Verificação direta rápida (para ficar seguro): avaliar o polinômio em x=1-2i:
(1-2i)^{2}-2(1-2i)+5.
Calcular passo a passo:
(1-2i)^{2}=1-4i+4i^{2}=1-4i-4=-3-4i,
-2(1-2i)=-2+4i,
somando tudo:
(-3-4i)+(-2+4i)+5 = (-3-2+5)+(-4i+4i)=0+0i=0.
Então 1-2i realmente anula o polinômio, confirmando que é raiz.

Resposta

(B) 1-2i

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