No plano cartesiano uma partícula se move nos seguintes movimentos: de baixo para cima (uparrow) ou da esquerda para direita (). Tomando o ponto O(0,0) como origem (saída), qual a probabilidade dessa partícula chegar ao ponto A(4,5), passando pelo ponto (1,2), considerando todos os possíveis caminhos?

Passo 1

Resumo do enunciado: a partícula parte de O(0,0) e só anda para cima ( uparrow) ou para a direita ( ). Queremos a probabilidade de, ao chegar em A(4,5), ter passado pelo ponto P(1,2).
Conteúdo: combinatória (cálculo de caminhos) e probabilidade clássica.
O que vamos precisar:
  • Contar o número total de caminhos de O até A;
  • Contar o número de caminhos de O até A que passam por P;
  • Dividir esses dois valores para obter a probabilidade.

Passo 2

Calcular o número total de caminhos de O(0,0) até A(4,5).
Para ir de (0,0) a (4,5) precisamos de 4 movimentos à direita e 5 para cima, em qualquer ordem.
O número total de sequências é dado pelo coeficiente binomial
binom4+54 ;=;binom94 ;=;9!4!,5! ;=;126

Passo 3

Calcular quantos desses caminhos passam por P(1,2).
Usamos a ideia de “quebra em dois trechos”:
  1. De O(0,0) a P(1,2): precisa de 1 direita e 2 para cima, ou seja 3 movimentos no total.$$\binom{1+2}{1} ;=;\binom{3}{1};=;3. binom1+21 ;=;binom31 ;=;3ãéé\binom{3+3}{3} ;=;\binom{6}{3};=;20. binom3+33 ;=;binom63 ;=;20íé3 \times 20 = 60.$$

Passo 4

Calcular a probabilidade clássica:
P = caminhos favoráveiscaminhos totais ;=;60126 ;=;1021 á

Resposta

A probabilidade de chegar em A(4,5) passando por (1,2) é 1021,.

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