No plano cartesiano uma partícula se move nos seguintes movimentos: de baixo para cima
ou da esquerda para direita
. Tomando o ponto
como origem (saída), qual a probabilidade dessa partícula chegar ao ponto
, passando pelo ponto
, considerando todos os possíveis caminhos?
Passo 1
Resumo do enunciado: a partícula parte de O(0,0) e só anda para cima (
) ou para a direita (
). Queremos a probabilidade de, ao chegar em A(4,5), ter passado pelo ponto P(1,2).
Conteúdo: combinatória (cálculo de caminhos) e probabilidade clássica.
O que vamos precisar:
Conteúdo: combinatória (cálculo de caminhos) e probabilidade clássica.
O que vamos precisar:
- Contar o número total de caminhos de O até A;
- Contar o número de caminhos de O até A que passam por P;
- Dividir esses dois valores para obter a probabilidade.
Passo 2
Calcular o número total de caminhos de O(0,0) até A(4,5).
Para ir de (0,0) a (4,5) precisamos de 4 movimentos à direita e 5 para cima, em qualquer ordem.
O número total de sequências é dado pelo coeficiente binomial
Para ir de (0,0) a (4,5) precisamos de 4 movimentos à direita e 5 para cima, em qualquer ordem.
O número total de sequências é dado pelo coeficiente binomial
Passo 3
Calcular quantos desses caminhos passam por P(1,2).
Usamos a ideia de “quebra em dois trechos”:
Usamos a ideia de “quebra em dois trechos”:
- De O(0,0) a P(1,2): precisa de 1 direita e 2 para cima, ou seja 3 movimentos no total.$$\binom{1+2}{1} ;=;\binom{3}{1};=;3.
\binom{3+3}{3} ;=;\binom{6}{3};=;20. 3 \times 20 = 60.$$
Passo 4
Calcular a probabilidade clássica:
Resposta
A probabilidade de chegar em A(4,5) passando por (1,2) é
.