Uma espira quadrada de lado 0,5 \mathrm{~m} está posicionada no plano x y, no qual seu vértice inferior esquerdo se encontra no ponto P(0,0,0). Se a espira possui resistência 500 \Omega e, na região da espira um campo magnético existe saindo do plano, determine a corrente que circula na espira nos seguintes casos:
\vec{B}=0,3 \cos (120 \pi t+\pi / 6) \vec{a}_{z} T

Passo 1

O enunciado dá uma espira quadrada de lado \,0,5\text{ m}\, no plano xy, com resistência R=500\,\Omega. O campo magnético na região da espira é uniforme e perpendicular ao plano, dado por
\vec{B}(t)=0,3\cos\bigl(120\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\,\vec{a}_z\\ \text{T}.
Vamos usar a lei de Faraday–Neumann para calcular a fem induzida e então a corrente na espira.

Passo 2

Como \vec{B} é uniforme e perpendicular, o fluxo magnético é
\Phi(t)=\iint_{\!A}\vec{B}\cdot d\vec{A} = B(t)\,A,
onde a área da espira é
A=(0,5)^2=0,25\\ \text{m}^2.

Passo 3

A lei de Faraday diz
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt} =-A\,\frac{dB}{dt}.
Como
B(t)=B_m\cos(\omega t+\varphi_0), \quad B_m=0,3,\;\omega=120\pi,\;\varphi_0=\tfrac{\pi}{6},
temos
\frac{dB}{dt} =-B_m\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi_0).

Passo 4

Substituindo em \mathcal{E}(t):
\mathcal{E}(t) =-A\bigl(-B_m\,\omega\sin(\omega t+\varphi_0)\bigr) =A\,B_m\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi_0).
A corrente induzida é
i(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R} =\frac{A\,B_m\,\omega}{R}\,\sin(\omega t+\varphi_0).
Agora inserimos os valores numéricos:
\frac{A\,B_m\,\omega}{R} =\frac{0,25\times0,3\times120\pi}{500} =\frac{9\pi}{500}\approx0,05655.

Resposta

i(t) =0,05655\;\sin\bigl(120\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{A}.

Exercícios relacionados