Um plano inclinado liso e sem atritos apresenta ângulo de 30^{\circ} em relação ao solo. Sendo a gravidade local de 10 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, determine a aceleração adquirida por um corpo posto a deslizar a partir do topo desse plano.Dado sen 30^{\circ}=0,5
a) 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
b) 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
c) 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
d) 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
e) 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:\n
  • Plano inclinado liso (sem atrito) com ângulo de inclinação \theta = 30^\circ em relação ao solo.\n
  • Gravidade local g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.\n
  • Um corpo é posto a deslizar a partir do topo do plano; pede-se a aceleração que esse corpo adquire ao deslizar.\n
  • É fornecido que \operatorname{sen} 30^\circ = 0,5.\n
    As alternativas oferecidas são:\n
    a) 20\\ \mathrm{m/s^2}\n
    b) 5\\ \mathrm{m/s^2}\n
    c) 3\\ \mathrm{m/s^2}\n
    d) 12\\ \mathrm{m/s^2}\n
    e) 2\\ \mathrm{m/s^2}

Passo 2

Entendendo as forças: como o plano é liso e sem atrito, as forças relevantes sobre o corpo são apenas a força peso \vec{P} (de módulo mg, vertical para baixo) e a força normal \vec{N} (perpendicular à superfície). Precisamos decompor a força peso em duas componentes relativas ao plano:\n
  • componente perpendicular ao plano (que é balanceada por \vec{N});\n
  • componente paralela ao plano (que faz o corpo deslizar).\n
    Para decompor usamos trigonometria: desenhe a força peso e faça o triângulo retângulo formado pelas componentes; o ângulo entre a normal e o peso é \theta, então a componente paralela tem módulo mg\operatorname{sen}\theta e a perpendicular tem módulo mg\cos\theta.\n
    Breve lembrete de trigonometria: para um ângulo \theta num triângulo retângulo,\n
    \operatorname{sen}\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\n
    \cos\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.\n
    Aqui a hipotenusa é mg, o cateto oposto ao ângulo \theta é a componente paralela mg\operatorname{sen}\theta.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton ao longo da direção paralela ao plano: escolha o sentido positivo para baixo ao longo do plano. A única força não anulada nessa direção é a componente do peso para baixo, de módulo mg\operatorname{sen}\theta. Então\n
\sum F_{\parallel} = ma_{\parallel}\n
onde m é a massa do corpo e a_{\parallel} é a aceleração ao longo do plano.\n
Substituindo a força paralela:\n
mg\operatorname{sen}\theta = m a_{\parallel}.

Passo 4

Simplificando a equação anterior: divide-se ambos os lados por m (a massa cancela), ficando\n
a_{\parallel} = g\operatorname{sen}\theta.\n
Isso é importante: a aceleração do corpo numa rampa sem atrito independe da massa do corpo — só depende de g e do ângulo \theta.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos: g = 10\\ \mathrm{m/s^2} e \operatorname{sen} 30^\circ = 0,5. Logo\n
a_{\parallel} = 10 \times 0,5 = 5\\ \mathrm{m/s^2}.\n
Unidade: como g está em \mathrm{m/s^2} e \operatorname{sen}\theta é adimensional, a_{\parallel} fica em \mathrm{m/s^2}, que é a unidade correta para aceleração.

Passo 6

Checagem rápida de coerência: se \theta=0^\circ então \operatorname{sen} 0^\circ=0 e a=0 (plano horizontal, sem movimento por gravidade) — faz sentido. Se \theta=90^\circ então \operatorname{sen} 90^\circ=1 e a=g (queda livre) — também faz sentido. Nosso resultado 5\\ \mathrm{m/s^2} para \theta=30^\circ e g=10\\ \mathrm{m/s^2} está coerente com essas ideias.

Resposta

b) 5\\ \mathrm{m/s^2}

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