O íon de
é igual ao átomo de hidrogênio na teoria de Bohr, exceto pelo fato de que a carga e a massa do núcleo são diferentes.
a) Que transições do
dão origem a linhas de emissão com comprimentos de onda quase iguais às primeiras duas linhas da série de Lyman no hidrogênio?
b) Calcule a diferença entre o comprimento de onda da linha a da série de Lyman do hidrogênio e a linha de emissão do Li que tem um comprimento de onda quase igual.
a) Que transições do
b) Calcule a diferença entre o comprimento de onda da linha a da série de Lyman do hidrogênio e a linha de emissão do Li que tem um comprimento de onda quase igual.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem aqui o íon
, que na teoria de Bohr se comporta parecido com um átomo de hidrogênio, mas com algumas diferenças na carga e na massa do núcleo. O exercício quer que a gente analise as transições eletrônicas que geram linhas de emissão similares às primeiras duas linhas da série de Lyman no hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de energia dos níveis de Bohr e entender como as transições eletrônicas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de energia para os níveis de um elétron no modelo de Bohr:
Aqui,
é a carga nuclear (no hidrogênio,
; no
,
),
é a constante de Rydberg, e
é o número quântico principal.
Passo 3
As linhas da série de Lyman correspondem a transições para o nível
. No hidrogênio, as duas primeiras linhas são para transições de
e
. Queremos encontrar transições no
que gerem comprimentos de onda quase iguais a essas.
Passo 4
Para isso, vamos igualar as diferenças de energia das transições no hidrogênio e no
e resolver para os níveis de
no
. A diferença de energia é dada por:
Onde
é o nível inicial e
é o nível final.
Passo 5
Vamos considerar a primeira transição da série de Lyman no hidrogênio:
. A diferença de energia para o hidrogênio é:
Para o
, queremos que a diferença de energia seja a mesma para que os comprimentos de onda sejam quase iguais:
Substituindo
:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Isso não dá um número inteiro, então devemos considerar outra transição ou aceitar que não há uma transição exata. Porém, para fins práticos, consideramos que a transição mais próxima seria
.
Passo 7
Fazendo o mesmo para a segunda linha da série de Lyman no hidrogênio:
.
Diferença de energia:
Igualando para o
:
Dividindo por
:
Novamente, não é um número inteiro, mas a transição mais próxima seria
.
Resposta
As transições de
no
geram linhas de emissão com comprimentos de onda quase iguais às duas primeiras linhas da série de Lyman no hidrogênio.