En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5 . Sea la función definida en todo el plano f tal que
. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
a) Mostrar que hay puntos de F en que la función es continua y hallarlos.
b) Entre los puntos hallados en a), se toma el punto (a,b) situado en el primer cuadrante.
i. Mostrar que
existe y dar su valor.
ii. Mostrar que
no existe; para ello se calcularán
y
que resultaran diferentes.
a) Mostrar que hay puntos de F en que la función es continua y hallarlos.
b) Entre los puntos hallados en a), se toma el punto (a,b) situado en el primer cuadrante.
i. Mostrar que
ii. Mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um círculo com centro na origem e raio 5 no plano Oxy. Temos uma função
definida de maneira diferente dentro e fora desse círculo. O objetivo é analisar a continuidade da função na fronteira do círculo e depois verificar a existência das derivadas parciais em um ponto específico na fronteira. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a fronteira
do círculo
. A fronteira é simplesmente o próprio círculo com equação
, pois o raio é 5.
Passo 3
Agora, vamos analisar a continuidade da função
na fronteira
. A função é dada por:
Para que
seja contínua na fronteira, os valores das duas expressões devem se igualar quando
.
Passo 4
Igualamos as duas expressões na fronteira:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, temos dois valores de
:
Passo 6
Com os valores de
, podemos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação da fronteira
.
Para
:
Para
:
Passo 7
Portanto, os pontos na fronteira
onde a função
é contínua são:
Passo 8
Agora, vamos focar no ponto
, que está no primeiro quadrante. Primeiro, queremos mostrar que a derivada parcial de
em relação a
,
, existe e encontrar seu valor.
Passo 9
A derivada parcial em relação a
é definida como:
Como
está na fronteira
, precisamos considerar os valores de
tanto dentro quanto fora de
. Mas dado que
é contínua em
, podemos calcular a derivada diretamente.
Dentro de
, a função é
.
Passo 10
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
dentro de
:
No ponto
:
Passo 11
Agora, vamos mostrar que a derivada parcial de
em relação a
,
, não existe no ponto
. Para isso, vamos calcular
e
e mostrar que eles são diferentes.
Passo 12
A derivada parcial em relação a
é definida como:
Vamos considerar os limites pela esquerda (
) e pela direita (
).
Passo 13
Para
(valores de
menores que 4, ou seja,
fora de
):
A função é
.
A derivada parcial em relação a
:
Então,
.
Passo 14
Para
(valores de
maiores que 4, mas como
com
ainda está fora de
porque
, na verdade precisamos reavaliar.
Na verdade, como
está exatamente na fronteira, para
ligeiramente acima de 4, ainda assim
coexistiria dentro de
se
não ultrapassasse a condição
. Mas nesse caso,
faria
, então a função continuaria sendo
. Porém, para completar, seguimos com a definição.
Então, na verdade, tanto para
ligeiramente acima quanto abaixo de 4, a função fora de
aplica a mesma expressão, portanto:
Passo 15
No entanto, percebemos que houve um equívoco. Na verdade, quando
se aproxima de 4 pelo interior de
, utilizamos
, e a derivada parcial seria:
Então, para
:
Passo 16
Agora, com os valores corretos:
Como esses valores são diferentes, a derivada parcial
não existe.
Resposta
A derivada parcial
não existe, pois
e
, que são diferentes.