En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5 . Sea la función definida en todo el plano f tal que f(x, y)=(cccx^2+y^2 & si & (x, y) in C x^2+y+12 & si & (x, y) notin C. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
a) Mostrar que hay puntos de F en que la función es continua y hallarlos.
b) Entre los puntos hallados en a), se toma el punto (a,b) situado en el primer cuadrante.
i. Mostrar que fx(a, b) existe y dar su valor.
ii. Mostrar que fy(a, b) no existe; para ello se calcularán fy(a, b^-)y fy(a, b^+)que resultaran diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um círculo com centro na origem e raio 5 no plano Oxy. Temos uma função definida de maneira diferente dentro e fora desse círculo. O objetivo é analisar a continuidade da função na fronteira do círculo e depois verificar a existência das derivadas parciais em um ponto específico na fronteira. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fronteira do círculo . A fronteira é simplesmente o próprio círculo com equação , pois o raio é 5.

Passo 3

Agora, vamos analisar a continuidade da função f(x, y) = x^2 + y^2 & se (x, y) in C x^2 + y + 12 & se (x, y) notin C na fronteira . A função é dada por:
Para que seja contínua na fronteira, os valores das duas expressões devem se igualar quando .

Passo 4

Igualamos as duas expressões na fronteira:
x^2 + y^2 = x^2 + y + 12
Simplificando:
y^2 = y + 12
y^2 - y - 12 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática y = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm raiz492 = 1 pm 72 :
y = 1 + 72 = 4 e y = 1 - 72 = -3
Então, temos dois valores de :

Passo 6

Com os valores de x^2 + 16 = 25 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3 , podemos encontrar os correspondentes valores de x^2 + 9 = 25 Rightarrow x^2 = 16 Rightarrow x = pm 4 usando a equação da fronteira .
Para :
Para :

Passo 7

Portanto, os pontos na fronteira (3, 4), (-3, 4), (4, -3), (-4, -3) onde a função é contínua são:

Passo 8

Agora, vamos focar no ponto , que está no primeiro quadrante. Primeiro, queremos mostrar que a derivada parcial de em relação a , , existe e encontrar seu valor.

Passo 9

A derivada parcial em relação a fx(a, b) = limh to 0 f(a + h, b) - f(a, b)h é definida como:
Como está na fronteira , precisamos considerar os valores de tanto dentro quanto fora de . Mas dado que é contínua em , podemos calcular a derivada diretamente.
Dentro de , a função é .

Passo 10

Calculamos a derivada parcial de fx(x, y) = partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x em relação a fx(3, 4) = 2 times 3 = 6 dentro de :
No ponto :

Passo 11

Agora, vamos mostrar que a derivada parcial de em relação a , , não existe no ponto . Para isso, vamos calcular e e mostrar que eles são diferentes.

Passo 12

A derivada parcial em relação a fy(a, b) = limh to 0 f(a, b + h) - f(a, b)h é definida como:
Vamos considerar os limites pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 13

Para fy(x, y) = partialpartial y (x^2 + y + 12) = 1 (valores de menores que 4, ou seja, fora de ):
A função é .
A derivada parcial em relação a :
Então, .

Passo 14

Para fy(3, 4^+) = 1 (valores de maiores que 4, mas como com ainda está fora de porque , na verdade precisamos reavaliar.
Na verdade, como está exatamente na fronteira, para ligeiramente acima de 4, ainda assim coexistiria dentro de se não ultrapassasse a condição . Mas nesse caso, faria , então a função continuaria sendo . Porém, para completar, seguimos com a definição.
Então, na verdade, tanto para ligeiramente acima quanto abaixo de 4, a função fora de aplica a mesma expressão, portanto:

Passo 15

No entanto, percebemos que houve um equívoco. Na verdade, quando fy(x, y) = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y se aproxima de 4 pelo interior de fy(3, 4^+) = 2 times 4 = 8 , utilizamos , e a derivada parcial seria:
Então, para :

Passo 16

Agora, com os valores corretos:
fy(3, 4^-) = 1 e fy(3, 4^+) = 8
Como esses valores são diferentes, a derivada parcial não existe.

Resposta

A derivada parcial não existe, pois e , que são diferentes.

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