Seja
a curva dada pela função vetorial
. Encontre o comprimento de
no intervalo dado.
a)
de
a
b)
de
a
c)
de
a
d)
de
a
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Temos uma curva vetorial
definida em um intervalo
. O comprimento de arco dessa curva é dado pela fórmula
onde
é a magnitude do vetor derivada. Para cada item, vamos calcular
, achar
e depois resolver a integral correspondente.
Passo 2
Para o item (a), temos
Derivando cada componente:
Logo,
Então o comprimento é
Fazendo a substituição
,
, vai de
a
:
Passo 3
Para o item (b), começamos com
Derivando:
e
já que
du = 2t,dt . O comprimento é
Use
u=2 ,
Lb = tfrac12 integral1^2 u^1/2,du = tfrac13l(u^3/2r)|1^2 = tfrac13(2raiz2 - 1) . Então de
a
:
Passo 4
Para o item ©, temos
Derivando:
e
pois
. Então
Passo 5
Para o item (d), a curva é
de
t=pi/4 a
sec t>0 . Derivando:
e
(num intervalo dado
). Logo
Resposta
a) 52/3; b) (2√2 - 1)/3; c) 7/3; d) ln(√2 + 1)