Seja C a curva dada pela função vetorial r(t). Encontre o comprimento de C no intervalo dado.
a) r(t)=t i+23 t^3 / 2 j de t=0 a t=8
b) r(t)=(t^2 / 2) i+(t^3 / 3) j de t=0 a t=1
c) r(t)=2 t i+t^2 j+13 t^3 k de t=0 a t=1
d) r(t)=t i+ln (sec t) j+3 k de t=0 a t=pi / 4

Passo 1

Temos uma curva vetorial r(t) definida em um intervalo [a,b]. O comprimento de arco dessa curva é dado pela fórmula
L = integrala^b |r'(t)|,dt,
onde |r'(t)| é a magnitude do vetor derivada. Para cada item, vamos calcular r'(t), achar |r'(t)| e depois resolver a integral correspondente.

Passo 2

Para o item (a), temos
La = integral0^8 raiz1 + t,dt
Derivando cada componente:
u = 1 + t
Logo,
du = dt
Então o comprimento é
u=1
Fazendo a substituição u=9, La = integral1^9 u^1/2,du = tfrac23l(u^3/2r)|1^9 = tfrac23(27 - 1) = tfrac523 , vai de a :

Passo 3

Para o item (b), começamos com
t>=0
Derivando:
Lb = integral0^1 traiz1 + t^2,dt
e
u = 1 + t^2
já que du = 2t,dt. O comprimento é
u=1
Use u=2, Lb = tfrac12 integral1^2 u^1/2,du = tfrac13l(u^3/2r)|1^2 = tfrac13(2raiz2 - 1) . Então de a :

Passo 4

Para o item ©, temos
t^2+2>0
Derivando:
Lc = integral0^1 (t^2 + 2),dt = l(tfract^33 + 2tr)|0^1 = tfrac13 + 2 = tfrac73
e
pois . Então

Passo 5

Para o item (d), a curva é
t=0
de t=pi/4 a sec t>0. Derivando:
Ld = integral0^pi/4 sec t,dt = lnl|sec t + tan tr||0^pi/4 = ln(raiz2 + 1)
e
(num intervalo dado ). Logo

Resposta

a) 52/3; b) (2√2 - 1)/3; c) 7/3; d) ln(√2 + 1)

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