Encontre equações paramétricas de um círculo de raio 2 e centro em (3,5).

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre equações paramétricas de um círculo de raio 2 e centro em (3,5)".
Informações fornecidas:
  • Centro do círculo: (3,5).
  • Raio do círculo: 2.
  • Objetivo: escrever equações paramétricas (x(t),y(t)) que descrevam esse círculo.

Passo 2

Ideia-chave (passo-a-passo simples): existe uma parametrização padrão do círculo unitário centrado na origem. Vou te lembrar isso com calma.
Para o círculo unitário centrado na origem, as equações paramétricas clássicas são
x=\cos t, \qquad y=\sin t,
onde t é um parâmetro que representa o ângulo medido a partir do eixo x. Essas funções satisfazem
\cos^2 t+\sin^2 t=1,
que é exatamente a equação cartesiana do círculo unitário (x)^2+(y)^2=1. Aqui cada valor de t dá um ponto do círculo; tomar t de 0 a 2\pi percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Como adaptar essa parametrização para um círculo de raio 2 e centro em (3,5).
  1. Primeiro, para mudar o raio de 1 para 2, multiplica-se as coordenadas por 2. Isso “alarga” o círculo:
x=2\cos t, \qquad y=2\sin t.
Isso produz o círculo centrado na origem com raio 2, porque
(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\cos^2 t+\sin^2 t)=4,
ou seja, (x)^2+(y)^2=4.
  1. Depois, para deslocar o centro da origem para (3,5), soma-se 3 na coordenada x e 5 na coordenada y. Geometricamente isso traduz o círculo:
x=3+2\cos t, \qquad y=5+2\sin t.
Essas são as equações paramétricas do círculo pedido. Vou mostrar explicitamente que elas resolvem o problema na próxima etapa.

Passo 4

Verificação direta (eliminando o parâmetro para recuperar a equação cartesiana):
Partindo de
x=3+2\cos t, \qquad y=5+2\sin t,
subtraindo o centro obtemos
x-3=2\cos t, \qquad y-5=2\sin t.
Agora elevando ao quadrado e somando:
(x-3)^2+(y-5)^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\cos^2 t+\sin^2 t)=4.
Portanto a parametrização realmente descreve o conjunto de pontos que satisfazem
(x-3)^2+(y-5)^2=4,
que é o círculo de centro (3,5) e raio 2. Bingo.

Passo 5

Domínio do parâmetro e orientação:
  • Basta tomar t\in[0,2\pi) para percorrer o círculo uma vez no sentido anti-horário (convencional).
  • Também é válido tomar t\in\mathbb{R}; a parametrização é 2\pi-periódica e vai repetir o percurso indefinidamente.
  • Se quiser o mesmo círculo percorrido no sentido horário, use por exemplo
x=3+2\cos t, \qquad y=5-2\sin t,
ou simplesmente trocar t por -t em y.

Passo 6

Exemplos numéricos (para você ver pontos concretos; útil na prova para checar respostas):
  • Para t=0:
x=3+2\cos 0=3+2\cdot 1=5, \qquad y=5+2\sin 0=5+2\cdot 0=5,
ponto (5,5) — isso é o ponto à direita do centro, a distância 2 ao longo do eixo x.
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}:
x=3+2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=3+2\cdot 0=3, \qquad y=5+2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=5+2\cdot 1=7,
ponto (3,7) — cima do centro.
  • Para t=\pi:
x=3+2\cos\pi=3+2\cdot(-1)=1, \qquad y=5+2\sin\pi=5+2\cdot 0=5,
ponto (1,5) — esquerda do centro.
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}:
x=3+2\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=3+2\cdot 0=3, \qquad y=5+2\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=5+2\cdot(-1)=3,
ponto (3,3) — abaixo do centro.
Esses cálculos usam só valores trigonométricos básicos, então dá pra fazer de cabeça na prova.

Passo 7

Outras formas úteis e dica prática:
  • Forma com fase (deslocamento angular): para começar o percurso em outro ponto pode-se usar
x=3+2\cos(t+\varphi), \qquad y=5+2\sin(t+\varphi),
onde \varphi é um ângulo que define o ponto inicial. Isso não muda o círculo, só muda onde t=0 começa.
  • Dica para a prova: quando pedirem parametrização de um círculo, memorize a “receita”:
    • começar do círculo unitário (\cos t,\sin t);
    • multiplicar por r para ajustar o raio;
    • somar o centro (h,k) para deslocar.
Vai dar tudo certo — respira, pega papel e caneta e pratica uns 3 exemplos rápidos para fixar. Você consegue!

Resposta

x=3+2\cos t,\quad y=5+2\sin t
t\in[0,2\pi) (ou t\in\mathbb{R} para percorrer indefinidamente)

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