Encontre equações paramétricas de um círculo de raio 2 e centro em
.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre equações paramétricas de um círculo de raio 2 e centro em
".
Informações fornecidas:
- Centro do círculo:
. - Raio do círculo:
. - Objetivo: escrever equações paramétricas
que descrevam esse círculo.
Passo 2
Ideia-chave (passo-a-passo simples): existe uma parametrização padrão do círculo unitário centrado na origem. Vou te lembrar isso com calma.
Para o círculo unitário centrado na origem, as equações paramétricas clássicas são
onde
é um parâmetro que representa o ângulo medido a partir do eixo
. Essas funções satisfazem
que é exatamente a equação cartesiana do círculo unitário
. Aqui cada valor de
dá um ponto do círculo; tomar
de
a
percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Como adaptar essa parametrização para um círculo de raio
e centro em
.
- Primeiro, para mudar o raio de
para , multiplica-se as coordenadas por . Isso “alarga” o círculo:
Isso produz o círculo centrado na origem com raio
, porque
ou seja,
.
- Depois, para deslocar o centro da origem para
, soma-se na coordenada e na coordenada . Geometricamente isso traduz o círculo:
Essas são as equações paramétricas do círculo pedido. Vou mostrar explicitamente que elas resolvem o problema na próxima etapa.
Passo 4
Verificação direta (eliminando o parâmetro para recuperar a equação cartesiana):
Partindo de
subtraindo o centro obtemos
Agora elevando ao quadrado e somando:
Portanto a parametrização realmente descreve o conjunto de pontos que satisfazem
que é o círculo de centro
e raio
. Bingo.
Passo 5
Domínio do parâmetro e orientação:
- Basta tomar
para percorrer o círculo uma vez no sentido anti-horário (convencional). - Também é válido tomar
; a parametrização é -periódica e vai repetir o percurso indefinidamente. - Se quiser o mesmo círculo percorrido no sentido horário, use por exemplo
ou simplesmente trocar
por
em
.
Passo 6
Exemplos numéricos (para você ver pontos concretos; útil na prova para checar respostas):
- Para
:
ponto
— isso é o ponto à direita do centro, a distância
ao longo do eixo
.
- Para
:
ponto
— cima do centro.
- Para
:
ponto
— esquerda do centro.
- Para
:
ponto
— abaixo do centro.
Esses cálculos usam só valores trigonométricos básicos, então dá pra fazer de cabeça na prova.
Passo 7
Outras formas úteis e dica prática:
- Forma com fase (deslocamento angular): para começar o percurso em outro ponto pode-se usar
onde
é um ângulo que define o ponto inicial. Isso não muda o círculo, só muda onde
começa.
- Dica para a prova: quando pedirem parametrização de um círculo, memorize a “receita”:
- começar do círculo unitário
; - multiplicar por
para ajustar o raio; - somar o centro
para deslocar.
- começar do círculo unitário
Vai dar tudo certo — respira, pega papel e caneta e pratica uns 3 exemplos rápidos para fixar. Você consegue!