O plano x-y está parcialmente preenchido com um campo magnético \vec{B}. Em x=0 e y \leq 0, \vec{B}=0. Para x>0 e y>0 ( 1^{0} quadrante), \vec{B}=-B_{0} \hat{k}. Para x<0 e y>0 ( 2^{0} quadrante), \vec{B}=\left(B_{0} / 2\right) \hat{k}. Uma partícula carregada de massa m e carga q, encontra-se inicialmente no ponto P_{1}=(0,5,0), movendo-se com velocidade \vec{v}=v_{0} \hat{i} ( v_{0} é constante e maior que zero). A partir desse instante a partícula descreve uma trajetória semicircular, atingindo novamente o eixo y no ponto P_{2}=(0,4,0). A carga é positiva ou negativa? Descreva e desenhe a trajetória percorrida pela partícula até que ela saia da região onde existe o campo magnético. Quanto tempo ela sofrerá a força magnética? Responda em termos de de v_{0}, m, q, B_{0}.

Passo 1

O enunciado (resumindo e organizando) nos dá:
  • Campo magnético no plano xy com as seguintes regiões:
    • Para x>0 e y>0 (1.º quadrante): \vec{B}=-B_{0}\,\hat{k}.
    • Para x<0 e y>0 (2.º quadrante): \vec{B}=\dfrac{B_{0}}{2}\,\hat{k}.
    • Em x=0 e y\le 0: \vec{B}=0.
  • Uma partícula de massa m e carga q está inicialmente em P_{1}=(0,5,0) com velocidade \vec{v}=v_{0}\,\hat{i} (com v_{0}>0).
  • A partir desse instante a partícula descreve uma trajetória semicircular e atinge novamente o eixo y em P_{2}=(0,4,0).
    As perguntas explícitas:
  1. A carga é positiva ou negativa?
  2. Descrever e (desenhar em palavras) a trajetória até que ela saia da região onde existe \vec{B}.
  3. Quanto tempo ela sofrerá a força magnética? (Expressar em termos de v_{0}, m, q, B_{0}.)

Passo 2

Primeira ferramenta física que precisamos: força magnética (força de Lorentz) sobre partícula com velocidade \vec{v} em campo \vec{B},
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Essa força é sempre perpendicular à velocidade e gera movimento circular uniforme (quando \vec{B} é uniforme e \vec{v} é perpendicular a \vec{B}). A direção do desvio (para a direita ou esquerda da velocidade) depende do sinal de q (use a regra da mão direita para o produto vetorial e depois multiplique por q). Vamos calcular a força inicial no instante em P_{1}, quando a partícula entra no 1.º quadrante onde \vec{B}=-B_{0}\hat{k}.
Calculemos \vec{v}\times\vec{B} no instante inicial:
\vec{v}=v_{0}\hat{i},\qquad \vec{B}=-B_{0}\hat{k}\quad\Rightarrow\quad \vec{v}\times\vec{B}=v_{0}\hat{i}\times(-B_{0}\hat{k})=-v_{0}B_{0}(\hat{i}\times\hat{k}).
Sabemos que \hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}. Logo
\vec{v}\times\vec{B}=-v_{0}B_{0}(-\hat{j})=v_{0}B_{0}\hat{j}.
Portanto a força inicial é
\vec{F}=q\,v_{0}B_{0}\,\hat{j}.
Isto significa que, no instante inicial, a força aponta para +\hat{j} se q>0 e para -\hat{j} se q<0.

Passo 3

Agora use a informação geométrica: a partícula foi de P_{1}=(0,5,0) a P_{2}=(0,4,0) descrevendo um semicírculo. A distância vertical entre esses pontos é 1, logo o semicírculo tem diâmetro 1 e raio
R_{1}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Sabemos que, para movimento circular em campo magnético uniforme (módulo da força magnética atuando como força centrípeta),
\frac{m v_{0}^{2}}{R} = |q| v_{0} B \quad\Rightarrow\quad R=\frac{m v_{0}}{|q| B}.
Aqui, durante o primeiro semicírculo B=B_{0} (módulo) e o raio medido geometricamente é R_{1}=0{,}5. Portanto
0{,}5=\frac{m v_{0}}{|q| B_{0}}\quad\Rightarrow\quad |q|=\frac{m v_{0}}{0{,}5 B_{0}}=\frac{2 m v_{0}}{B_{0}}.
Isso relaciona o valor absoluto de q com m,v_{0},B_{0}.

Passo 4

Voltemos ao sinal de q. No instante inicial calculamos que \vec{v}\times\vec{B}=v_{0}B_{0}\hat{j}. Para que o centro do círculo esteja exatamente no ponto médio entre P_{1} e P_{2} (o que ocorre se o arco é um semicírculo com diâmetro vertical), o centro deve estar abaixo de P_{1} (em y=4{,}5), ou seja, a aceleração centrípeta deve apontar para -\hat{j} inicialmente. Mas a força inicial é q v_{0}B_{0}\hat{j}; para ela apontar para -\hat{j} precisamos de q<0. Conclusão:
  • A carga é negativa.
(Empatia rápida: “eu também fiquei confuso até checar a direção com o semicírculo — faz parte do processo!”)

Passo 5

Descrever a trajetória detalhadamente (passo a passo geométrico), calculando centros e raios de cada arco:
Definimos R_{1} para o 1.º quadrante (já obtido):
R_{1}=\frac{m v_{0}}{|q| B_{0}}=0{,}5.
No 2.º quadrante o campo tem módulo B_{2}=B_{0}/2. O raio aí será
R_{2}=\frac{m v_{0}}{|q| B_{2}}=\frac{m v_{0}}{|q|(B_{0}/2)}=\frac{2 m v_{0}}{|q| B_{0}}=2R_{1}.
Usando R_{1}=0{,}5 obtemos R_{2}=1.
Agora os centros e arcos:
  • Primeiro semicírculo (1.º quadrante): começa em P_{1}=(0,5), velocidade +\hat{i}. Como q<0, a força inicial aponta para -\hat{j}, então o centro está abaixo. Centro C_{1}=(0,\,5-R_{1})=(0,\,4{,}5). A partícula descreve meia volta ao redor de C_{1} do ponto superior ao ponto inferior, terminando em P_{2}=(0,4). A velocidade em P_{2} é -\hat{i}.
  • Segundo semicírculo (2.º quadrante): ao passar por P_{2}=(0,4) a partícula segue para x<0 com velocidade -\hat{i} e entra na região com B=B_{0}/2. O raio é R_{2}=1. A direção da força, calculada com q<0, aponta para -\hat{j} também neste instante, então o centro C_{2} fica em C_{2}=(0,\,4-R_{2})=(0,\,3). Um semicírculo em torno de C_{2} leva de P_{2}=(0,4) a P_{3}=(0,2). Velocidade em P_{3} é +\hat{i}.
  • Terceiro semicírculo (1.º quadrante): entrando novamente em x>0 com velocidade +\hat{i}, raio volta a ser R_{1}=0{,}5. Centro C_{3}=(0,\,2-R_{1})=(0,\,1{,}5). Meio arco de P_{3}=(0,2) leva a P_{4}=(0,1). Velocidade em P_{4} é -\hat{i}.
  • Quarto semicírculo (2.º quadrante): entrando em x<0 com velocidade -\hat{i}, raio R_{2}=1, centro C_{4}=(0,\,1-R_{2})=(0,\,0). Meio arco leva de P_{4}=(0,1) a P_{5}=(0,0).
    No ponto P_{5}=(0,0) a partícula atinge a linha y=0 em x=0. Pelo enunciado em x=0, y\le 0 temos \vec{B}=0, portanto a partir desse instante ela sai da região do campo magnético e passa a mover-se em linha reta tangente à sua velocidade nesse ponto.
Resumo do desenho (em palavras):
  • Uma sucessão de semicircunferências alternadas, primeiro um semicírculo pequeno à direita (raio 0{,}5) de y=5 a y=4, depois um semicírculo maior à esquerda (raio 1) de y=4 a y=2, depois pequeno à direita de y=2 a y=1, e finalmente o maior à esquerda de y=1 a y=0. Ao atingir (0,0) ela sai do campo e segue em linha reta.

Passo 6

Agora o tempo gasto sob a ação da força magnética. Tempo para uma volta completa em campo B (ciclo ciclotrônico) é
T=\frac{2\pi m}{|q|B}.
Assim o tempo para meia-volta (semicírculo) é
t_{\text{meia}}=\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{|q|B}.
Calculamos os tempos de cada semicírculo:
  • Para arcos no 1.º quadrante ( B=B_{0}): t_{1}=\dfrac{\pi m}{|q|B_{0}}.
  • Para arcos no 2.º quadrante ( B=B_{0}/2): t_{2}=\dfrac{\pi m}{|q|(B_{0}/2)}=\dfrac{2\pi m}{|q|B_{0}}.
A sequência até sair do campo (conforme passo anterior) contém dois semicírculos em cada tipo (1.º e 2.º quadrantes), portanto o tempo total sob a força magnética é
t_{\text{total}}=2t_{1}+2t_{2}=2\left(\frac{\pi m}{|q|B_{0}}\right)+2\left(\frac{2\pi m}{|q|B_{0}}\right)=\frac{6\pi m}{|q|B_{0}}.
Podemos agora usar a relação já obtida entre |q| e m,v_{0},B_{0}:
|q|=\frac{2 m v_{0}}{B_{0}}.
Substituindo em t_{\text{total}} temos
t_{\text{total}}=\frac{6\pi m}{(|q|)B_{0}}=\frac{6\pi m}{\left(\dfrac{2 m v_{0}}{B_{0}}\right)B_{0}}=\frac{6\pi m}{2 m v_{0}}=\frac{3\pi}{v_{0}}.
Observação: o tempo final não depende de m nem de B_{0} quando usamos a condição geométrica fornecida (o primeiro semicírculo de raio 0{,}5 fixa |q| em função de m,v_{0},B_{0}), mas podemos também apresentar a forma sem substituir |q| (útil se quiser a expressão explícita em termos de q):
t_{\text{total}}=\frac{6\pi m}{|q|B_{0}}.

Resposta

A carga é negativa.
Trajetória: sequência de quatro semicírculos alternados — primeiro semicírculo no 1.º quadrante de P_{1}=(0,5) a P_{2}=(0,4) com raio R_{1}=0{,}5 e centro C_{1}=(0,4{,}5); segundo semicírculo no 2.º quadrante de P_{2}=(0,4) a P_{3}=(0,2) com raio R_{2}=1 e centro C_{2}=(0,3); terceiro semicírculo no 1.º quadrante de P_{3}=(0,2) a P_{4}=(0,1) (raio 0{,}5, centro C_{3}=(0,1{,}5)); quarto semicírculo no 2.º quadrante de P_{4}=(0,1) a P_{5}=(0,0) (raio 1, centro C_{4}=(0,0)). Em P_{5}=(0,0) a partícula sai da região \vec{B}\neq 0 e segue em linha reta tangente à sua velocidade naquele ponto.
Tempo total sob a força magnética: \displaystyle t_{\text{total}}=\frac{6\pi m}{|q|B_{0}}=\frac{3\pi}{v_{0}} (usando |q|=\dfrac{2m v_{0}}{B_{0}}).

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