O plano
está parcialmente preenchido com um campo magnético
. Em
e
. Para
e
(
quadrante),
. Para
e
(
quadrante),
. Uma partícula carregada de massa
e carga
, encontra-se inicialmente no ponto
, movendo-se com velocidade
(
é constante e maior que zero). A partir desse instante a partícula descreve uma trajetória semicircular, atingindo novamente o eixo
no ponto
. A carga é positiva ou negativa? Descreva e desenhe a trajetória percorrida pela partícula até que ela saia da região onde existe o campo magnético. Quanto tempo ela sofrerá a força magnética? Responda em termos de de
.
Passo 1
O enunciado (resumindo e organizando) nos dá:
- Campo magnético no plano
com as seguintes regiões: - Para
e (1.º quadrante): . - Para
e (2.º quadrante): . - Em
e : .
- Para
- Uma partícula de massa
e carga está inicialmente em com velocidade (com ). - A partir desse instante a partícula descreve uma trajetória semicircular e atinge novamente o eixo
em .
As perguntas explícitas:
- A carga é positiva ou negativa?
- Descrever e (desenhar em palavras) a trajetória até que ela saia da região onde existe
. - Quanto tempo ela sofrerá a força magnética? (Expressar em termos de
.)
Passo 2
Primeira ferramenta física que precisamos: força magnética (força de Lorentz) sobre partícula com velocidade
em campo
,
Essa força é sempre perpendicular à velocidade e gera movimento circular uniforme (quando
é uniforme e
é perpendicular a
). A direção do desvio (para a direita ou esquerda da velocidade) depende do sinal de
(use a regra da mão direita para o produto vetorial e depois multiplique por
). Vamos calcular a força inicial no instante em
, quando a partícula entra no 1.º quadrante onde
.
Calculemos
no instante inicial:
Sabemos que
. Logo
Portanto a força inicial é
Isto significa que, no instante inicial, a força aponta para
se
e para
se
.
Passo 3
Agora use a informação geométrica: a partícula foi de
a
descrevendo um semicírculo. A distância vertical entre esses pontos é
, logo o semicírculo tem diâmetro
e raio
Sabemos que, para movimento circular em campo magnético uniforme (módulo da força magnética atuando como força centrípeta),
Aqui, durante o primeiro semicírculo
(módulo) e o raio medido geometricamente é
. Portanto
Isso relaciona o valor absoluto de
com
.
Passo 4
Voltemos ao sinal de
. No instante inicial calculamos que
. Para que o centro do círculo esteja exatamente no ponto médio entre
e
(o que ocorre se o arco é um semicírculo com diâmetro vertical), o centro deve estar abaixo de
(em
), ou seja, a aceleração centrípeta deve apontar para
inicialmente. Mas a força inicial é
; para ela apontar para
precisamos de
. Conclusão:
- A carga é negativa.
(Empatia rápida: “eu também fiquei confuso até checar a direção com o semicírculo — faz parte do processo!”)
Passo 5
Descrever a trajetória detalhadamente (passo a passo geométrico), calculando centros e raios de cada arco:
Definimos
para o 1.º quadrante (já obtido):
No 2.º quadrante o campo tem módulo
. O raio aí será
Usando
obtemos
.
Agora os centros e arcos:
- Primeiro semicírculo (1.º quadrante): começa em
, velocidade . Como , a força inicial aponta para , então o centro está abaixo. Centro . A partícula descreve meia volta ao redor de do ponto superior ao ponto inferior, terminando em . A velocidade em é . - Segundo semicírculo (2.º quadrante): ao passar por
a partícula segue para com velocidade e entra na região com . O raio é . A direção da força, calculada com , aponta para também neste instante, então o centro fica em . Um semicírculo em torno de leva de a . Velocidade em é . - Terceiro semicírculo (1.º quadrante): entrando novamente em
com velocidade , raio volta a ser . Centro . Meio arco de leva a . Velocidade em é . - Quarto semicírculo (2.º quadrante): entrando em
com velocidade , raio , centro . Meio arco leva de a .
No pontoa partícula atinge a linha em . Pelo enunciado em , temos , portanto a partir desse instante ela sai da região do campo magnético e passa a mover-se em linha reta tangente à sua velocidade nesse ponto.
Resumo do desenho (em palavras):
- Uma sucessão de semicircunferências alternadas, primeiro um semicírculo pequeno à direita (raio
) de a , depois um semicírculo maior à esquerda (raio ) de a , depois pequeno à direita de a , e finalmente o maior à esquerda de a . Ao atingir ela sai do campo e segue em linha reta.
Passo 6
Agora o tempo gasto sob a ação da força magnética. Tempo para uma volta completa em campo
(ciclo ciclotrônico) é
Assim o tempo para meia-volta (semicírculo) é
Calculamos os tempos de cada semicírculo:
- Para arcos no 1.º quadrante (
): . - Para arcos no 2.º quadrante (
): .
A sequência até sair do campo (conforme passo anterior) contém dois semicírculos em cada tipo (1.º e 2.º quadrantes), portanto o tempo total sob a força magnética é
Podemos agora usar a relação já obtida entre
e
:
Substituindo em
temos
Observação: o tempo final não depende de
nem de
quando usamos a condição geométrica fornecida (o primeiro semicírculo de raio
fixa
em função de
), mas podemos também apresentar a forma sem substituir
(útil se quiser a expressão explícita em termos de
):
Resposta
A carga é negativa.
Trajetória: sequência de quatro semicírculos alternados — primeiro semicírculo no 1.º quadrante de a
com raio
e centro
; segundo semicírculo no 2.º quadrante de
a
com raio
e centro
; terceiro semicírculo no 1.º quadrante de
a
(raio
, centro
); quarto semicírculo no 2.º quadrante de
a
(raio
, centro
). Em
a partícula sai da região
e segue em linha reta tangente à sua velocidade naquele ponto.
Tempo total sob a força magnética: (usando
).
Trajetória: sequência de quatro semicírculos alternados — primeiro semicírculo no 1.º quadrante de
Tempo total sob a força magnética: