O plano
perpendicular aos planos
e
é:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede qual das alternativas é um plano
que seja perpendicular a ambos
e
. Dados fornecidos:
-
. -
.
O que se pede: escolher, entre as alternativas dadas, a equação do plano
que satisfaz a condição de ser perpendicular a
e a
.
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar, sem pressa): para um plano
com equação geral
, o vetor normal ao plano é
. Duas coisas úteis:
- Dois planos são perpendiculares entre si se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares (produto escalar zero).
- Se um vetor é perpendicular a dois vetores dados, então esse vetor é paralelo ao produto vetorial desses dois vetores. Em outras palavras, o produto vetorial de dois vetores fornece um vetor que é ortogonal a ambos.
Aqui usamos isso assim: se
é perpendicular a
e a
, então o vetor normal de
deve ser perpendicular aos vetores normais de
e
; logo o normal de
é paralelo ao produto vetorial
.
Passo 3
Extrair os vetores normais dos planos dados:
- O vetor normal de
é (peguei isso da equação de ). - O vetor normal de
é (peguei isso da equação de ).
Passo 4
Calcular o produto vetorial
. A fórmula componente a componente é
onde
e
.
Aplicando com
e
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
Passo 5
Interpretação: qualquer vetor que seja perpendicular a
e a
é paralelo a
. Logo o vetor normal de um plano
que seja perpendicular a ambos também deve ser paralelo a
. Em termos de equação de plano, isso significa que os coeficientes de
na equação de
devem ser proporcionais a
(ou seja, o coeficiente de
deve ser zero e os coeficientes de
e
devem ter razão
, isto é
).
Passo 6
Agora verificar as alternativas: basta olhar os coeficientes de
em cada alternativa e checar se são proporcionais a
.
- a) coeficientes
— não proporcionais a porque . - b) coeficientes
— tem componente em não nula, portanto não proporcional a . - c) coeficientes
— exatamente proporcionais (na verdade iguais) a . - d) coeficientes
— não proporcionais (e tem não nulo). - e) coeficientes
— tem não nulo e não é proporcional.
Assim, entre as alternativas, apenas uma apresenta vetor normal paralelo a
.
Passo 7
Conclusão: a alternativa cuja equação tem vetor normal paralelo a
é a que satisfaz a condição de ser perpendicular a
e a
. Essa é a única alternativa compatível com o que foi exigido.
Resposta
c.