O plano \pi perpendicular aos planos \pi_{1}: 2 x-y+2 z-1=0 e \pi_{2}: 4 x-2 y-5 z-3=0 é:
Escolha uma opção:
◯ a. \pi: 11 x+11 y-2=0
◯ b. \pi:-18 x+12 y-6 z-2=0
◯ c. \pi: 9 x+18 y-2=0
◯ d. \pi: 11 x-9 y-8 z-2=0
◯ e. \pi:-18 x-12 y+6 z-2=0

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede qual das alternativas é um plano \pi que seja perpendicular a ambos \pi_{1} e \pi_{2}. Dados fornecidos:
  • \pi_{1}: 2x - y + 2z - 1 = 0.
  • \pi_{2}: 4x - 2y - 5z - 3 = 0.
O que se pede: escolher, entre as alternativas dadas, a equação do plano \pi que satisfaz a condição de ser perpendicular a \pi_{1} e a \pi_{2}.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar, sem pressa): para um plano \Pi com equação geral ax+by+cz+d=0, o vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). Duas coisas úteis:
  • Dois planos são perpendiculares entre si se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares (produto escalar zero).
  • Se um vetor é perpendicular a dois vetores dados, então esse vetor é paralelo ao produto vetorial desses dois vetores. Em outras palavras, o produto vetorial de dois vetores fornece um vetor que é ortogonal a ambos.
Aqui usamos isso assim: se \pi é perpendicular a \pi_{1} e a \pi_{2}, então o vetor normal de \pi deve ser perpendicular aos vetores normais de \pi_{1} e \pi_{2}; logo o normal de \pi é paralelo ao produto vetorial \mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}.

Passo 3

Extrair os vetores normais dos planos dados:
  • O vetor normal de \pi_{1} é \mathbf{n}_{1}=(2,-1,2) (peguei isso da equação de \pi_{1}).
  • O vetor normal de \pi_{2} é \mathbf{n}_{2}=(4,-2,-5) (peguei isso da equação de \pi_{2}).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}. A fórmula componente a componente é
\mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}=\bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr),
onde \mathbf{n}_{1}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{n}_{2}=(b_{1},b_{2},b_{3}).
Aplicando com a_{1}=2,\;a_{2}=-1,\;a_{3}=2 e b_{1}=4,\;b_{2}=-2,\;b_{3}=-5:
  • Componente x:
a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}=(-1)(-5)-2(-2)=5-(-4)=9.
  • Componente y:
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}=2\cdot4-2\cdot(-5)=8-(-10)=18.
  • Componente z:
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=2(-2)-(-1)\cdot4=-4-(-4)=0.
Portanto
\mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}=(9,18,0).

Passo 5

Interpretação: qualquer vetor que seja perpendicular a \mathbf{n}_{1} e a \mathbf{n}_{2} é paralelo a (9,18,0). Logo o vetor normal de um plano \pi que seja perpendicular a ambos também deve ser paralelo a (9,18,0). Em termos de equação de plano, isso significa que os coeficientes de x,y,z na equação de \pi devem ser proporcionais a 9,18,0 (ou seja, o coeficiente de z deve ser zero e os coeficientes de x e y devem ter razão 9:18, isto é 1:2).

Passo 6

Agora verificar as alternativas: basta olhar os coeficientes de x,y,z em cada alternativa e checar se são proporcionais a (9,18,0).
  • a) coeficientes (11,11,0) — não proporcionais a (9,18,0) porque 11/9\neq11/18.
  • b) coeficientes (-18,12,-6) — tem componente em z não nula, portanto não proporcional a (9,18,0).
  • c) coeficientes (9,18,0) — exatamente proporcionais (na verdade iguais) a (9,18,0).
  • d) coeficientes (11,-9,-8) — não proporcionais (e tem z não nulo).
  • e) coeficientes (-18,-12,6) — tem z não nulo e não é proporcional.
Assim, entre as alternativas, apenas uma apresenta vetor normal paralelo a (9,18,0).

Passo 7

Conclusão: a alternativa cuja equação tem vetor normal paralelo a (9,18,0) é a que satisfaz a condição de ser perpendicular a \pi_{1} e a \pi_{2}. Essa é a única alternativa compatível com o que foi exigido.

Resposta

c. \pi: 9x+18y-2=0

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