O plano que é paralelo ao plano 2 x-y+3 z-5=0 e passa pelo ponto (2,-5,3) é dado por
Escolha uma opção:
◯ a. -4 x+2 y-6 z+26=0
◯ b. 4 x-2 y+6 z-36=0
◯ c. -2 x+y-3 z+9=0
◯ d. -6 x+3 y-9 z-27=0
◯ e. 6 x-3 y+9 z+15=0

Passo 1

O enunciado dá um plano e um ponto e pede um plano paralelo ao plano dado que passe por esse ponto.
Informações fornecidas:
  • Plano dado: 2x - y + 3z - 5 = 0.
  • Ponto por onde o novo plano deve passar: (2,-5,3).
  • Pergunta: qual é o plano paralelo ao plano dado que passa por (2,-5,3)? (Escolher entre as alternativas fornecidas.)

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagarinho). Uma equação cartesiana de plano no espaço tem a forma geral
ax + by + cz + d = 0
onde o vetor normal ao plano é (a,b,c). Esse vetor indica a direção perpendicular ao plano. Duas observações importantes:
  • Dois planos são paralelos quando os seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais).
  • Multiplicar toda a equação do plano por um número real não nulo gera a mesma superfície, porque apenas escala o vetor normal.

Passo 3

Aplicando o conceito ao problema. O plano dado tem coeficientes de x,y,z que formam o vetor normal
(2,-1,3).
Logo qualquer plano paralelo terá um vetor normal paralelo a (2,-1,3). A forma mais simples para o plano que buscamos é
2x - y + 3z + D = 0,
onde D é uma constante desconhecida que devemos determinar usando o ponto dado.

Passo 4

Determinar D impondo que o ponto (2,-5,3) satisfaça a equação do plano. Substituindo coordenadas:
2\cdot 2 - (-5) + 3\cdot 3 + D = 0.
Calcule passo a passo:
2\cdot 2 = 4,
-(-5) = 5,
3\cdot 3 = 9,
portanto
4 + 5 + 9 + D = 0.
Somando os números:
18 + D = 0.
Daí
D = -18.

Passo 5

Com D=-18 a equação do plano procurado é
2x - y + 3z - 18 = 0.
Agora comparar com as alternativas. Observação importante: multiplicar a equação acima por 2 dá uma equação equivalente (mesmo plano):
4x - 2y + 6z - 36 = 0,
que é exatamente a alternativa (b). As outras alternativas não são múltiplos escalares de 2x - y + 3z - 18 = 0, portanto não representam o mesmo plano.

Passo 6

Conclusão: a alternativa correta é a que apresenta uma equação equivalente à 2x - y + 3z - 18 = 0. Essa alternativa é a (b).

Resposta

b. 4x - 2y + 6z - 36 = 0

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