Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
y=c_{2} \operatorname{sen} 2 x+\frac{1}{3} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função
y = c_{2}\,\operatorname{sen}2x + \tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}x
e pede para determinar se essa função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental.
Informações fornecidas:
\;c_{2} é uma constante (qualquer número real) e os termos envolvidos são \operatorname{sen}2x e \operatorname{sen}x.
Pergunta clara: a função é periódica para valores gerais de \;c_{2}? Se sim, qual é o menor período positivo T tal que y(x+T)=y(x) para todo x?

Passo 2

Relembrando a definição e uma regra útil (explicação didática):
Uma função f(x) é periódica se existe um número real T>0 tal que
f(x+T)=f(x)\quad\text{para todo }x.
O menor T>0 que satisfaz isso é o período fundamental. Para funções seno/cosseno com argumento multiplicado por constante, a regra é: a função \operatorname{sen}(kx) tem período fundamental
T_k=\frac{2\pi}{k},
porque ao somar T obtemos \operatorname{sen}(k(x+T))=\operatorname{sen}(kx+kT), que volta a ser \operatorname{sen}(kx) sempre que kT for um múltiplo inteiro de 2\pi; o menor T>0 é então T=2\pi/k.

Passo 3

Aplicando a regra aos termos da soma (explicando passo a passo):
  • Para \operatorname{sen}2x temos k=2. Logo o período fundamental é
T_{2}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Isto significa \operatorname{sen}2(x+\pi)=\operatorname{sen}(2x+2\pi)=\operatorname{sen}2x.
  • Para \operatorname{sen}x temos k=1. Logo o período fundamental é
T_{1}=\frac{2\pi}{1}=2\pi.
Isto significa \operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x.

Passo 4

Período da soma: princípios
Se f tem período T_a e g tem período T_b, qualquer período comum T da soma f+g precisa ser múltiplo de ambos T_a e T_b. O período fundamental da soma (quando as funções não se cancelam de forma especial) é o menor número positivo que é múltiplo simultâneo de T_a e T_b — essencialmente o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os períodos. Aqui:
T_a = \pi,\qquad T_b = 2\pi.
O menor número positivo que é múltiplo de \pi e de 2\pi é 2\pi. Portanto, 2\pi é um período comum. Em outras palavras, para todo x:
y(x+2\pi)=c_{2}\,\operatorname{sen}2(x+2\pi)+\tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}(x+2\pi)=c_{2}\,\operatorname{sen}2x+\tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}x=y(x).

Passo 5

Verificando se existe período menor por causa de cancelamentos (checar casos especiais)
O candidato menor mais óbvio é T=\pi (período de \operatorname{sen}2x). Vamos testar:
y(x+\pi)=c_{2}\,\operatorname{sen}2(x+\pi)+\tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}(x+\pi)=c_{2}\,\operatorname{sen}2x+\tfrac{1}{3}(-\operatorname{sen}x)=c_{2}\,\operatorname{sen}2x-\tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}x.
Para que \pi seja período precisaríamos de y(x+\pi)=y(x) para todo x, ou seja
c_{2}\,\operatorname{sen}2x-\tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}x = c_{2}\,\operatorname{sen}2x+\tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}x
para todo x. Isso reduz a
-\tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}x = \tfrac{1}{3}\,\operatorname{sen}x \quad\Rightarrow\quad \tfrac{2}{3}\,\operatorname{sen}x = 0\\ \text{para todo }x,
o que é impossível (não existe constante que torne \operatorname{sen}x identicamente zero). Assim \pi não pode ser período, nem qualquer T<2\pi que não seja múltiplo de 2\pi. Também não existe escolha de c_{2} que anule o termo \tfrac{1}{3}\operatorname{sen}x (pois \tfrac{1}{3} é fixo), logo não há cancelamento que diminua o período para menos de 2\pi.

Passo 6

Conclusão final (sintetizando a ideia para usar na prova)
Os períodos fundamentais dos termos são \pi e 2\pi. O menor período comum é 2\pi. Não existe cancelamento possível que permita um período menor (porque o coeficiente \tfrac{1}{3} do termo \operatorname{sen}x é não nulo). Portanto a função é periódica e o período fundamental da soma é 2\pi.

Resposta

A função é periódica; o período fundamental é 2\pi.

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