Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se essa função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental.
Informações fornecidas:
é uma constante (qualquer número real) e os termos envolvidos são
e
.
Pergunta clara: a função é periódica para valores gerais de ? Se sim, qual é o menor período positivo
tal que
para todo
?
Informações fornecidas:
Pergunta clara: a função é periódica para valores gerais de
Passo 2
Relembrando a definição e uma regra útil (explicação didática):
Uma função é periódica se existe um número real
tal que
Uma função
O menor
que satisfaz isso é o período fundamental. Para funções seno/cosseno com argumento multiplicado por constante, a regra é: a função
tem período fundamental
porque ao somar
obtemos
, que volta a ser
sempre que
for um múltiplo inteiro de
; o menor
é então
.
Passo 3
Aplicando a regra aos termos da soma (explicando passo a passo):
- Para
temos . Logo o período fundamental é
Isto significa
.
- Para
temos . Logo o período fundamental é
Isto significa
.
Passo 4
Período da soma: princípios
Se tem período
e
tem período
, qualquer período comum
da soma
precisa ser múltiplo de ambos
e
. O período fundamental da soma (quando as funções não se cancelam de forma especial) é o menor número positivo que é múltiplo simultâneo de
e
— essencialmente o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os períodos. Aqui:
Se
O menor número positivo que é múltiplo de
e de
é
. Portanto,
é um período comum. Em outras palavras, para todo
:
Passo 5
Verificando se existe período menor por causa de cancelamentos (checar casos especiais)
O candidato menor mais óbvio é (período de
). Vamos testar:
O candidato menor mais óbvio é
Para que
seja período precisaríamos de
para todo
, ou seja
para todo
. Isso reduz a
o que é impossível (não existe constante que torne
identicamente zero). Assim
não pode ser período, nem qualquer
que não seja múltiplo de
. Também não existe escolha de
que anule o termo
(pois
é fixo), logo não há cancelamento que diminua o período para menos de
.
Passo 6
Conclusão final (sintetizando a ideia para usar na prova)
Os períodos fundamentais dos termos são e
. O menor período comum é
. Não existe cancelamento possível que permita um período menor (porque o coeficiente
do termo
é não nulo). Portanto a função é periódica e o período fundamental da soma é
.
Os períodos fundamentais dos termos são
Resposta
A função é periódica; o período fundamental é
.