Maximize f(x, y)=e^x y

Passo 1

Vamos maximizar a função f(x,y)=e^xy sobre R^2. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis sem restrições e precisaremos usar derivadas parciais e análise de limites.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para encontrar pontos críticos. Como f(x,y)=e^xy, temos
fx=partial fpartial x=y,e^xy,

Para pontos críticos igualamos fy=partial fpartial y=x,e^xy e fx=0. Como fy=0 sempre, concluímos
e^xy>0
Logo, a única possibilidade comum é y=0ou x=0 e x=0 arbitrário (ou vice-versa), mas nesses pontos y e não há máximo local maior que 1.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de f quando xyto+infty. Se, por exemplo, fizermos x=yto+infty, então xyto+infty e
f(x,x)=e^x^2to+infty,
Isso mostra que não existe um valor máximo finito: a função cresce sem limite.

Passo 4

Portanto, embora haja pontos críticos parecendo nível 1, a função não é limitada acima e seu supremo é infinito.

Resposta

Não existe máximo finito, pois f(x,y) cresce sem limite superior ( sup f=+infty).

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