Os planos pi1: x+y+z=1 e pi2: x-2 y+2 z=3 interceptam-se formando uma aresta. Calcule o cosseno do ângulo formado entre esses dois planos.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos no espaço
pi1:x+y+z=1 e pi2:x-2y+2z=3
e pede o cosseno do ângulo varphi entre eles.
Conteúdo: geometria analítica no espaço, cálculo de ângulo entre planos.
Para resolver, usamos que o ângulo entre planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Extraímos os coeficientes de x,y,z em cada equação para obter as normais:
n1=(1,1,1) e n2=(1,-2,2).

Passo 3

Calculamos o produto escalar
n1cdotn2 =1cdot1+1cdot(-2)+1cdot2 =1-2+2 =1

Passo 4

Calculamos as normas dos vetores:
|n1| =raiz1^2+1^2+1^2 =raiz3, |n2| =raiz1^2+(-2)^2+2^2 =raiz9 =3

Passo 5

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores (e portanto entre planos):
cosvarphi =|n1cdotn2||n1|;|n2| =|1|raiz3,times3 =13raiz3

Resposta

cosvarphi = 13raiz3

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