Determine a interseção dos planos π1 e π2.
π1: x+2 y-z-1=0 e π2: 2 x+y-z=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a interseção de dois planos em R^3:
pi1: x + 2y - z - 1 = 0, pi2: 2x + y - z = 1
O conteúdo aqui é geometria analítica: a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Vamos achar um vetor diretor dessa reta e um ponto que pertença a ambos os planos para escrever sua equação paramétrica.

Passo 2

Cada plano tem um vetor normal. Para pi1 temos
n1 = (1,,2,,-1),
e para pi2
n2 = (2,,1,,-1)
O vetor diretor v da reta de interseção é perpendicular a ambos n1 e n2, logo
v = n1 times n2 = i & j & k [6pt] 1 & 2 & -1 [3pt] 2 & 1 & -1 = (-1,,-1,,-3)
Podemos simplificar e tomar v = (1,,1,,3).]

Passo 3

Para encontrar um ponto
Da segunda equação vem pertence a .

Passo 4

Com o ponto P0 e o vetor diretor v, a equação paramétrica da reta de interseção é
(x,y,z) = (0,0,-1) + t,(1,1,3), tinR
Em componentes:
x = t, y = t, z = 3t - 1

Resposta

A interseção pi1cappi2 é a reta dada por
(x,y,z) = (0,0,-1) + t,(1,1,3), tinR

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