Verifique se os planos pi1: x-y+z=0 e pi2: 2 x+2 y+z=4 são perpendiculares, paralelos ou oblíquos entre si. Em caso de serem oblíquos, calcule o ângulo entre eles.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a posição relativa entre os planos
pi1: x - y + z = 0 e pi2: 2x + 2y + z = 4.
O conteúdo envolve geometria vetorial de planos, onde precisamos extrair os vetores normais, usar produto escalar para testar paralelismo ou perpendicularidade e, se forem oblíquos, calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Cada plano ax+by+cz=d tem vetor normal (a,b,c).
Para pi1 temos
n1 = (1,,-1,,1),
e para pi2 temos
n2 = (2,,2,,1)

Passo 3

Testamos se são paralelos checando se n1 é múltiplo escalar de n2.
Se existisse lambda tal que (1,-1,1)=lambda,(2,2,1), teríamos
1=2lambda e -1=2lambda simultaneamente, o que é impossível.
Logo, não são paralelos.

Passo 4

Testamos se são perpendiculares calculando o produto escalar
n1cdot n2 = 1cdot2 + (-1)cdot2 + 1cdot1 = 2 - 2 + 1 = 1
Como n1cdot n2neq 0, não são perpendiculares.

Passo 5

Concluímos que os planos são oblíquos. O ângulo theta entre eles é dado pelo ângulo entre os normais, com
costheta = lvert n1cdot n2rvert|n1|;|n2|
Calculando as normas:
|n1| = raiz1^2+(-1)^2+1^2 = raiz3, |n2| = raiz2^2+2^2+1^2 = raiz9 = 3
Assim
costheta = 1raiz3cdot3 = 13raiz3,
theta = arccos!l(tfrac13raiz3r)approx 79^circ

Resposta

Os planos são oblíquos entre si, e o ângulo entre eles é
theta = arccos!l(tfrac13raiz3r)approx 79^circ

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