Planos de viagem. Você é um agente de viagens que quer estimar, com 95 \% de confiança, a proporção de pessoas em férias que planejam viajar para fora dos Estados Unidos nos próximos 12 meses. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3 \% da proporção real.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que 26 \% dos pesquisados declararam que planejavam viajar para fora dos Estados Unidos nos próximos 12 meses.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele me deu (resumido e claro):
  • Objetivo: estimar a proporção de pessoas em férias que planejam viajar para fora dos EUA nos próximos 12 meses, com nível de confiança de 95% e margem de erro de 3% da proporção real.
  • Dados fornecidos:
    • Nível de confiança: 95\%.
    • Margem de erro desejada: E=0,03.
    • Parte (a): não há estimativa prévia de proporção.
    • Parte (b): estudo anterior indica que a proporção estimada foi 26\%, isto é \hat{p}=0,26.
  • Perguntas que preciso responder:
    1. (a) Qual o tamanho mínimo da amostra quando não há estimativa prévia?
    2. (b) Qual o tamanho mínimo da amostra usando \hat{p}=0,26?
    3. (c) Comparar os resultados de (a) e (b).

Passo 2

Fórmula que vou usar e explicação didática dos conceitos
  • Quando queremos estimar uma proporção com margem de erro E e nível de confiança associado a uma cauda de probabilidade \alpha (aqui \alpha=0,05 para 95% de confiança), o tamanho de amostra mínimo, supondo população grande (ou infinita), é dado por:
n=\frac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}.
Expliquei cada símbolo:
  • n é o tamanho mínimo da amostra (número de pessoas a entrevistar).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para 95% de confiança, \alpha/2=0,025 e z_{0,025}=1,96. Isso vem da tabela da normal padrão: a probabilidade de ficar entre -1,96 e 1,96 é aproximadamente 0,95.
  • p é a proporção (verdadeira) de interesse. Se há uma estimativa prévia, usa-se essa estimativa; se não há, usa-se o valor que maximiza a variância p(1-p) para garantir que a amostra seja suficientemente grande (conservador).
  • p(1-p) é a variância da proporção amostral (em termos relativos).
  • E é a margem de erro absoluta desejada (aqui E=0,03).
Importante e didático sobre o termo p(1-p):
  • A quantidade p(1-p) atinge seu máximo quando p=0,5. Para ver isso rapidamente, considere f(p)=p(1-p)=p-p^2. Derivando,
f'(p)=1-2p,
que se anula em p=1/2 e f''(p)=-2<0, portanto é máximo em p=1/2. O valor máximo é 0,5\cdot0,5=0,25.
  • Por isso, quando não há estimativa prévia, usa-se p=0,5 (caso conservador), porque isso gera o maior n necessário — assim garante-se a margem de erro pedida independentemente do verdadeiro p.
Ressalva prática: depois de calcular n obtido pela fórmula, sempre arredonda-se para cima (teto) para garantir que a amostra seja pelo menos desse tamanho.

Passo 3

Cálculo para (a): sem estimativa prévia (usar p=0,5)
  • Valores a colocar na fórmula:
    • z_{0,025}=1,96,
    • p=0,5 então p(1-p)=0,5\cdot0,5=0,25,
    • E=0,03.
  • Aplicando a fórmula:
n=\frac{1,96^2\cdot 0,25}{0,03^2}.
Calcule passo a passo:
1,96^2=3,8416,
3,8416\cdot 0,25=0,9604,
0,03^2=0,0009,
n=\frac{0,9604}{0,0009}=1067{,}111\ldots
  • Como n deve ser inteiro e queremos garantir a margem de erro, arredonda-se para cima:
n=1068.

Passo 4

Cálculo para (b): usando estimativa prévia \hat{p}=0,26
  • Valores:
    • z_{0,025}=1,96,
    • p=0,26 então p(1-p)=0,26\cdot0,74=0,1924,
    • E=0,03.
  • Aplicando a fórmula:
n=\frac{1,96^2\cdot 0,1924}{0,03^2}.
Calcule passo a passo:
1,96^2=3,8416,
3,8416\cdot 0,1924\approx 0,7391\quad(\text{mais precisamente }0,7391\text{...}),
0,03^2=0,0009,
n=\frac{0,7391}{0,0009}\approx 821{,}248\ldots
  • Arredondando para cima:
n=822.

Passo 5

Comparação entre (a) e (b) e interpretação prática
  • Resultados numéricos:
    • (a) n=1068.
    • (b) n=822.
  • Diferença absoluta:
1068-822=246\\ \text{entrevistados a menos}.
  • Diferença percentual (redução aproximada ao usar a estimativa prévia):
\frac{246}{1068}\approx 0{,}2305\approx 23{,}05\%.
Interpretação em linguagem amigável:
  • Usar uma estimativa prévia de p=0,26 reduz bastante o tamanho necessário da amostra (cerca de 246 pessoas, ou ~23% a menos) em comparação com a abordagem conservadora p=0,5. Isso significa economia de tempo e custo se a estimativa de 0,26 for confiável.
  • Se houver dúvida sobre a confiabilidade da estimativa prévia, optar por p=0,5 é seguro (garante a margem de erro). Mas se o estudo anterior for creível, usar p=0,26 é mais eficiente.

Resposta

(a) n=1068
(b) n=822
(c) Redução de 246 entrevistados (aproximadamente 23{,}05\% de redução ao usar \hat{p}=0,26 em vez de p=0,5).

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