Planos de viagem. Você é um agente de viagens que quer estimar, com
de confiança, a proporção de pessoas em férias que planejam viajar para fora dos Estados Unidos nos próximos 12 meses. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de
da proporção real.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
dos pesquisados declararam que planejavam viajar para fora dos Estados Unidos nos próximos 12 meses.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele me deu (resumido e claro):
- Objetivo: estimar a proporção de pessoas em férias que planejam viajar para fora dos EUA nos próximos 12 meses, com nível de confiança de 95% e margem de erro de 3% da proporção real.
- Dados fornecidos:
- Nível de confiança:
. - Margem de erro desejada:
. - Parte (a): não há estimativa prévia de proporção.
- Parte (b): estudo anterior indica que a proporção estimada foi
, isto é .
- Nível de confiança:
- Perguntas que preciso responder:
- (a) Qual o tamanho mínimo da amostra quando não há estimativa prévia?
- (b) Qual o tamanho mínimo da amostra usando
? - (c) Comparar os resultados de (a) e (b).
Passo 2
Fórmula que vou usar e explicação didática dos conceitos
- Quando queremos estimar uma proporção com margem de erro
e nível de confiança associado a uma cauda de probabilidade (aqui para 95% de confiança), o tamanho de amostra mínimo, supondo população grande (ou infinita), é dado por:
Expliquei cada símbolo:
-
é o tamanho mínimo da amostra (número de pessoas a entrevistar). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Para 95% de confiança, e . Isso vem da tabela da normal padrão: a probabilidade de ficar entre e é aproximadamente 0,95. -
é a proporção (verdadeira) de interesse. Se há uma estimativa prévia, usa-se essa estimativa; se não há, usa-se o valor que maximiza a variância para garantir que a amostra seja suficientemente grande (conservador). -
é a variância da proporção amostral (em termos relativos). -
é a margem de erro absoluta desejada (aqui ).
Importante e didático sobre o termo
:
- A quantidade
atinge seu máximo quando . Para ver isso rapidamente, considere . Derivando,
que se anula em
e
, portanto é máximo em
. O valor máximo é
.
- Por isso, quando não há estimativa prévia, usa-se
(caso conservador), porque isso gera o maior necessário — assim garante-se a margem de erro pedida independentemente do verdadeiro .
Ressalva prática: depois de calcular
obtido pela fórmula, sempre arredonda-se para cima (teto) para garantir que a amostra seja pelo menos desse tamanho.
Passo 3
Cálculo para (a): sem estimativa prévia (usar
)
-
Valores a colocar na fórmula:
-
, -
então , -
.
-
-
Aplicando a fórmula:
Calcule passo a passo:
- Como
deve ser inteiro e queremos garantir a margem de erro, arredonda-se para cima:
Passo 4
Cálculo para (b): usando estimativa prévia
-
Valores:
-
, -
então , -
.
-
-
Aplicando a fórmula:
Calcule passo a passo:
- Arredondando para cima:
Passo 5
Comparação entre (a) e (b) e interpretação prática
-
Resultados numéricos:
- (a)
. - (b)
.
- (a)
-
Diferença absoluta:
- Diferença percentual (redução aproximada ao usar a estimativa prévia):
Interpretação em linguagem amigável:
- Usar uma estimativa prévia de
reduz bastante o tamanho necessário da amostra (cerca de 246 pessoas, ou ~23% a menos) em comparação com a abordagem conservadora . Isso significa economia de tempo e custo se a estimativa de for confiável. - Se houver dúvida sobre a confiabilidade da estimativa prévia, optar por
é seguro (garante a margem de erro). Mas se o estudo anterior for creível, usar é mais eficiente.
Resposta
(a)
(b)
(c) Redução de
entrevistados (aproximadamente
de redução ao usar
em vez de
).