Em uma planta industrial, um sistema de monitoramento de corrente elétrica tem três sensores S1, S2 e S3. As probabilidades de que os sensores detectem uma anomalia corretamente são 0,85,0,9 e 0,8 , respectivamente. Suponha que, para qualquer anomalia, as probabilidades de ocorrência são 0,2,0,3 e 0,5 para as três condições de operação possíveis da planta. Qual é a probabilidade total de que uma anomalia seja detectada?

Passo 1

Beleza, então a questão é a seguinte: numa fábrica temos três “modos de operação” (chama daí de condição 1, 2 e 3) que acontecem com probabilidades 0,2; 0,3; e 0,5, respectivamente. Cada modo tem um sensor dedicado (S₁, S₂ e S₃) que acerta ao detectar uma anomalia com probabilidades 0,85; 0,9; e 0,8.
Conteúdo: probabilidade total (ou Teorema da Probabilidade Total). A ideia é dividir o evento “anomalia detectada” pelas condições possíveis e somar.

Passo 2

Vamos lembrar da teoria: Se E₁, E₂, E₃ formam uma “partição” do espaço (ou seja, são eventos mutuamente exclusivos e cuja soma das probabilidades é 1), e A é qualquer outro evento, então
P(A) ;=;sumi=1^3 P(A mid Ei),P(Ei)
Aqui:
• E₁ = “anomalia na condição 1” com P(E₁)=0,2
• E₂ = “anomalia na condição 2” com P(E₂)=0,3
• E₃ = “anomalia na condição 3” com P(E₃)=0,5
E A = “anomalia detectada”.

Passo 3

Ligando tudo: a probabilidade de detecção total é
P(detectada) = P(A) = P(Amid E1)P(E1) + P(Amid E2)P(E2) + P(Amid E3)P(E3)
Substituindo:
P(Amid E1)=0,85,; P(Amid E2)=0,90,; P(Amid E3)=0,80,
P(E1)=0,20,; P(E2)=0,30,; P(E3)=0,50

Passo 4

Agora é só multiplicar e somar:
P(detectada) = 0,85cdot0,20 ;+; 0,90cdot0,30 ;+; 0,80cdot0,50
Calculemos:
0,85·0,20 = 0,17
0,90·0,30 = 0,27
0,80·0,50 = 0,40
Somando: 0,17 + 0,27 + 0,40 = 0,84

Resposta

A probabilidade total de que uma anomalia seja detectada é 0,84 (ou 84%).

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