Use a Regra de l’Hôpital para encontrar os limites dos exercícios.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0^{+}}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)
onde cada termo \frac{1}{x} e \frac{1}{\sqrt{x}} diverge para +\infty quando x\to0^+. Assim temos uma indeterminação da forma +\infty-\infty. Para usar a Regra de l’Hôpital precisamos reescrever em forma de quociente que dê 0/0 ou +\infty/\infty.

Passo 2

Vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} =\frac{\sqrt{x}-x}{x\,\sqrt{x}}.

Passo 3

Observe que, quando x\to0^+,
\sqrt{x}-x\to0 \quad\text{e}\quad x\,\sqrt{x}=x^{3/2}\to0,
logo temos a forma 0/0, válida para aplicar l’Hôpital.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador separadamente em relação a x:
– Numerador: \frac{d}{dx}(\sqrt{x}-x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.
– Denominador: \frac{d}{dx}(x^{3/2})=\frac{3}{2}\,x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.
Pela Regra de l’Hôpital, o limite original é igual a
\lim_{x\to0^+} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-1}{\frac{3}{2}\sqrt{x}}.

Passo 5

Para x\to0^+, o termo -1 no numerador fica desprezível frente a \tfrac{1}{2\sqrt{x}}, que explode. Assim
\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-1}{\frac{3}{2}\sqrt{x}} \sim \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{3}{2}\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{2}{3\sqrt{x}} =\frac{1}{3x},
e \frac{1}{3x}\to+\infty quando x\to0^+.

Resposta

\lim_{x\to 0^{+}}\Bigl(\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{\sqrt{x}}\Bigr) =+\infty.

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