Use a Regra de l’Hôpital para encontrar os limites dos exercícios.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to0}\bigl(e^x + x\bigr)^{1/x}.
Observamos que, quando x\to0, a base tende a 1 e o expoente tende a +\infty, ou seja, temos uma forma indeterminada 1^\infty. Para resolver, vamos usar logaritmo e a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0}\bigl(e^x + x\bigr)^{1/x}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln L = \lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(e^x + x\bigr)}{x}\,.

Passo 3

O quociente
\displaystyle \frac{\ln\bigl(e^x + x\bigr)}{x}
é uma forma 0/0, pois
\ln(e^x + x)\to\ln1=0 e x\to0.
Aplicando a regra de l’Hôpital:
\lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(e^x + x\bigr)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{d}{dx}\ln\bigl(e^x + x\bigr)}{\dfrac{d}{dx}x} = \lim_{x\to0}\frac{e^x + 1}{e^x + x}\,.

Passo 4

Ao substituir x=0 no resultado da derivada, vem
\frac{e^0 + 1}{e^0 + 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2,
logo \ln L = 2. Exponenciando, concluímos que
L = e^2.

Resposta

e^2

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