T. 5 Uma plataforma circular, de massa M e raio R, gira livremente, com velocidade angular omega, em torno de um eixo fixo, perpendicular a ela, passando pelo seu centro. Seu momento de inércia em relação a esse eixo é I=M R^22. Uma pequena bola de material viscoso, de massa m, cai verticalmente sobre a plataforma, à distância R2 do seu centro, grudando-se nela instantaneamente. A velocidade angular final da plataforma é:
a) M-mM omega
b) M+mM omega
c) MM+m omega
d) 2 M-m2 M omega
e) 2 M2 M+m omega

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e qual conteúdo vamos usar.
Enunciado em miúdos: temos uma plataforma circular (massa I = M R^22 , raio ) girando com velocidade angular . O momento de inércia dela é
Aí cai uma bolinha de massa que gruda a uma distância do centro, e a plataforma + bolinha passam a girar junto com nova velocidade angular . A pergunta é: qual é ?
Conteúdo que vamos usar: conservação do momento angular (não tem torque externo), cálculo de momento de inércia de ponto material, soma de momentos de inércia.

Passo 2

Explicando a teoria:
  1. “Momento angular” L = I ,omega, de um sistema em rotação é dado por
Li = Lf
onde Iponto = m,r^2 é o momento de inércia total e If = Iplaca + Ibola = M R^22 + ml(tfracR2r)^2 = M R^22 + m,R^24 a velocidade angular.
  1. Se não há torque externo, o momento angular inicial é igual ao final :
  1. Quando a bolinha gruda a do eixo, ela se comporta como um ponto de massa . O momento de inércia de um ponto a distância é
Então, antes: só a plataforma, .
Depois: plataforma + bolinha,

Passo 3

Aplicando conservação do momento angular:
Li = Ii ,omega Longrightarrow Lf = If ,omegaf Longrightarrow Ii ,omega = If ,omegaf
Isolando omegaf = IiIf,omega = tfracM R^22tfracM R^22 + m,tfracR^24;omega :
omegaf = tfracM2tfracM2 + tfracm4;omega = tfrac2M4tfrac2M + m4;omega = 2M2M + m;omega
Fatorando no denominador e numerador:

Resposta

.

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