T.
No instante
, uma partícula de massa
é abandonada, em repouso, no ponto
, sob a ação da gravidade, cuja aceleração é representada por
. O torque e o momento angular da partícula, em relação à origem do sistema de coordenadas e em função do tempo
são, respectivamente:
a)
d) zero; zero
b)
e)
; zero
c) zero;
a)
d) zero; zero
b)
e)
c) zero;
Passo 1
Beleza, primeiro vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos uma partícula de massa
, largada em repouso no ponto
e a única força é a gravidade
. Precisamos achar, em função do tempo
:
- O torque
em relação à origem. - O momento angular
em relação à origem.
Conteúdo da matéria: mecânica de partículas, usando definição de torque
e momento angular
. Também vamos precisar calcular a velocidade a partir da aceleração constante da gravidade.
Passo 2
Definindo a posição, força e quantidade de movimento:
- Posição genérica (já que sai do repouso e só cai):
Mas note que, para torque, só importa onde ela está “na hora” e qual força age nela — a parte em que varia não entra no resultado final, como a gente vai ver. - Força gravitacional constante:
- Quantidade de movimento
. Como a aceleração é , a velocidade é Logo
Passo 3
Cálculo do torque
.
Temos
e
.
Então
Temos
Então
Agora, lembre que
, então o segundo termo some.
Para o primeiro termo:
Para o primeiro termo:
logo
Portanto
Passo 4
Cálculo do momento angular
.
Temos e
.
Mesma jogada que no torque:
Temos
Mesma jogada que no torque:
O segundo termo é zero de novo, e para o primeiro:
Logo
Resposta
Torque:
Momento angular:
Momento angular: