T. 6 No instante t=0, uma partícula de massa m é abandonada, em repouso, no ponto r=a i+b k, sob a ação da gravidade, cuja aceleração é representada por g=-g k. O torque e o momento angular da partícula, em relação à origem do sistema de coordenadas e em função do tempo t são, respectivamente:
a) m g a k ; m g a t k
d) zero; zero
b) m g a j ; m g a t j
e) m g b k; zero
c) zero; m g a t j

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos uma partícula de massa vec r(0)=a,vec i + b,vec k , largada em repouso no ponto
e a única força é a gravidade . Precisamos achar, em função do tempo :
  • O torque em relação à origem.
  • O momento angular em relação à origem.
Conteúdo da matéria: mecânica de partículas, usando definição de torque e momento angular . Também vamos precisar calcular a velocidade a partir da aceleração constante da gravidade.

Passo 2

Definindo a posição, força e quantidade de movimento:
  1. Posição genérica (já que sai do repouso e só cai): vec r(t)=a,vec i + l(b - tfrac12 g t^2r),vec k Mas note que, para torque, só importa onde ela está “na hora” e qual força age nela — a parte em vec F = -m g,vec k que varia não entra no resultado final, como a gente vai ver.
  2. Força gravitacional constante: vec v(t) = integral vec a ,dt = -g t,vec k
  3. Quantidade de movimento vec p(t)=m,vec v(t) = -m g t,vec k . Como a aceleração é , a velocidade é Logo

Passo 3

Cálculo do torque vectau = (a,vec i + b,vec k)times(-m g,vec k) = a,vec itimes(-m g,vec k);+;b,vec ktimes(-m g,vec k) .
Temos
vec itimesvec k = -,vec j, e a,vec itimes(-m g,vec k) = -m g,a;(vec itimesvec k) = -m g,a,(-vec j) = +m g,a,vec j .
Então
boxedvectau = m g,a;vec j
Agora, lembre que , então o segundo termo some.
Para o primeiro termo:
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Portanto

Passo 4

Cálculo do momento angular vec L = (a,vec i + b,vec k)times(-m g t,vec k) = a,vec itimes(-m g t,vec k) + b,vec ktimes(-m g t,vec k) .
Temos vec itimesvec k=-vec j ;implies; a,vec itimes(-m g t,vec k) = -m g t,a,(vec itimesvec k) = -m g t,a,(-vec j) = m g,a,t;vec j e boxedvec L = m g,a,t;vec j .
Mesma jogada que no torque:
O segundo termo é zero de novo, e para o primeiro:
Logo

Resposta

Torque:
Momento angular:

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