Uma plataforma giratória com momento de inércia I gira com velocidade angular
. Uma pessoa de massa m cai verticalmente sobre a plataforma a uma distância
do eixo. Qual é a nova velocidade angular?
A. A)
B. B)
C. C)
D. D)
E. E)
A. A)
B. B)
C. C)
D. D)
E. E)
Passo 1
O enunciado dá uma plataforma giratória com momento de inércia
girando com velocidade angular
. Uma pessoa de massa
cai verticalmente sobre a plataforma a uma distância
do eixo. A pergunta é: qual é a nova velocidade angular da plataforma após a pessoa cair? Informações relevantes dadas:
Pressuposições implícitas (listadas para não perder de vista): a pessoa passa a girar com a plataforma (isto é, “gruda” e passa a ter a mesma velocidade angular), e não há torque externo significativo durante o impacto que mude o momento angular do sistema.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: momento angular e sua conservação. Para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, o momento angular
é dado por
onde
é o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo e
é a velocidade angular. Aqui:
A conservação do momento angular diz que, se não agirem torques externos significativos, o momento angular total antes do evento é igual ao momento angular total depois do evento:
Passo 3
Calculemos o momento angular inicial do sistema (apenas a plataforma, antes da pessoa cair). Usamos a fórmula
. Assim:
Passo 4
Agora a pessoa cai e passa a girar com a plataforma. A contribuição ao momento de inércia de uma pessoa tratada como massa pontual a uma distância
do eixo é
Explicando: o momento de inércia de uma massa pontual
a distância
do eixo é
porque cada pequena massa contribui com
vezes a sua massa; aqui toda a massa está a distância
.
Passo 5
O momento de inércia total após a pessoa cair é a soma (princípio de aditividade do momento de inércia):
A velocidade angular final vamos chamar de
. Pelo princípio de conservação do momento angular:
Passo 6
Isolamos
na última equação; passo a passo:
dividindo ambos os lados por
,
Breve verificação de razão: se
então
(pessoa sem massa não altera a rotação); se
for grande,
diminui — isto faz sentido fisicamente (mais inércia implica giro mais lento).
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a fórmula encontrada corresponde à alternativa B.
Resposta
B)