Uma plataforma giratória com momento de inércia I gira com velocidade angular \omega. Uma pessoa de massa m cai verticalmente sobre a plataforma a uma distância R do eixo. Qual é a nova velocidade angular?
A. A) \omega
B. B) \frac{I}{I+m R^{2}} \omega
C. C) \frac{I+m R^{2}}{I} \omega
D. D) \frac{m R^{2}}{I} \omega
E. E) \frac{I}{m R^{2}} \omega

Passo 1

O enunciado dá uma plataforma giratória com momento de inércia \,I\, girando com velocidade angular \,\omega\,. Uma pessoa de massa \,m\, cai verticalmente sobre a plataforma a uma distância \,R\, do eixo. A pergunta é: qual é a nova velocidade angular da plataforma após a pessoa cair? Informações relevantes dadas:
I,\quad \omega,\quad m,\quad R.
Pressuposições implícitas (listadas para não perder de vista): a pessoa passa a girar com a plataforma (isto é, “gruda” e passa a ter a mesma velocidade angular), e não há torque externo significativo durante o impacto que mude o momento angular do sistema.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: momento angular e sua conservação. Para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, o momento angular \,L\, é dado por
L = I\,\omega,
onde \,I\, é o momento de inércia total do sistema em relação ao eixo e \,\omega\, é a velocidade angular. Aqui:
I = \text{momento de inércia (kg·m}^2\text{)},\quad \omega = \text{velocidade angular (rad/s)}.é
A conservação do momento angular diz que, se não agirem torques externos significativos, o momento angular total antes do evento é igual ao momento angular total depois do evento:
L_{\text{inicial}} = L_{\text{final}}.

Passo 3

Calculemos o momento angular inicial do sistema (apenas a plataforma, antes da pessoa cair). Usamos a fórmula \,L = I\omega\,. Assim:
L_{\text{inicial}} = I\,\omega.

Passo 4

Agora a pessoa cai e passa a girar com a plataforma. A contribuição ao momento de inércia de uma pessoa tratada como massa pontual a uma distância \,R\, do eixo é
I_{\text{pessoa}} = m\,R^{2}.
Explicando: o momento de inércia de uma massa pontual m a distância R do eixo é mR^2 porque cada pequena massa contribui com r^2 vezes a sua massa; aqui toda a massa está a distância R.

Passo 5

O momento de inércia total após a pessoa cair é a soma (princípio de aditividade do momento de inércia):
I_{\text{final}} = I + m\,R^{2}.
A velocidade angular final vamos chamar de \,\omega_{\text{f}}\,. Pelo princípio de conservação do momento angular:
L_{\text{inicial}} = L_{\text{final}}
I\,\omega = I_{\text{final}}\,\omega_{\text{f}} = (I + mR^{2})\,\omega_{\text{f}}.

Passo 6

Isolamos \,\omega_{\text{f}}\, na última equação; passo a passo:
(I + mR^{2})\,\omega_{\text{f}} = I\,\omega
dividindo ambos os lados por (I + mR^{2}),
\omega_{\text{f}} = \frac{I}{I + mR^{2}}\,\omega.
Breve verificação de razão: se \,m\to 0\, então \,\omega_{\text{f}}\to\omega (pessoa sem massa não altera a rotação); se \,m for grande, \,\omega_{\text{f}} diminui — isto faz sentido fisicamente (mais inércia implica giro mais lento).

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a fórmula encontrada corresponde à alternativa B.

Resposta

B) \displaystyle \frac{I}{I+m R^{2}}\,\omega

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