(a) Na plateia um ouvinte é capaz de perceber a voz de um cantor com um nível de intensidade de 60 dB . Se reunirmos um coral com cinquenta pessoas (onde todas cantam com a mesma intensidade), qual será o nível de intensidade médio percebido pelo ouvinte ? (b) Em um trecho de uma determinada música, o coral canta com nível de intensidade de cerca de 90 dB . Determine o nível de intensidade de cada pessoa.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado dá e o que ele pede, bem mastigado para não perder o rumo:
  • Dados:
    • Um ouvinte percebe a voz de uma pessoa com nível de intensidade 60\\ \mathrm{dB}.
    • O coral tem 50 pessoas, todas cantando com a mesma intensidade (cada uma igual à pessoa do primeiro dado).
    • Em outra parte, o coral (as mesmas 50 pessoas) canta com nível de intensidade total de 90\\ \mathrm{dB}.
  • Perguntas:
    1. (a) Se juntarmos as 50 pessoas, qual será o nível de intensidade médio percebido pelo ouvinte? (ou seja, o nível total quando as 50 cantam todas com 60\\ \mathrm{dB} cada uma)
    2. (b) Se o coral inteiro apresenta 90\\ \mathrm{dB}, qual é o nível de intensidade de cada pessoa?

Passo 2

Primeiro vamos entender o conceito e a fórmula que usamos em prova — sem drama, passo a passo.
  • Intensidade sonora (energia por área) é uma grandeza física I medida em \mathrm{W/m^2}.
  • O nível de intensidade sonora em decibéis é definido por
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I_0 é a intensidade de referência (usualmente I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}). Aqui:
  • L é o nível em decibéis ( \mathrm{dB});
  • I é a intensidade que chega ao ouvido;
  • \log_{10} é o logaritmo na base 10.
  • Essa fórmula é só uma forma conveniente de expressarmos uma razão de intensidades numa escala logarítmica — por isso somar fontes não resulta em somar decibéis diretamente.

Passo 3

Como somar intensidades de várias fontes iguais?
  • Se cada fonte (cada pessoa) emite intensidade I_1, então N fontes idênticas juntas produzem intensidade total
I_{\text{tot}} = N I_1.
  • Aplicando a fórmula do nível para a intensidade total:
L_{\text{tot}} = 10\log_{10}\!\left(\frac{I_{\text{tot}}}{I_0}\right) = 10\log_{10}\!\left(\frac{N I_1}{I_0}\right).
  • Usando propriedades de logaritmo ( \log_{10}(ab)=\log_{10}a+\log_{10}b):
L_{\text{tot}} = 10\log_{10}N + 10\log_{10}\!\left(\frac{I_1}{I_0}\right).
  • Mas 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) é justamente o nível de cada fonte, isto é L_1. Logo:
\boxed{L_{\text{tot}} = L_1 + 10\log_{10}N.}
Essa fórmula é a chave do problema: o nível total é o nível de uma fonte mais 10\log_{10}N.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao item (a).
  • Aqui L_1 = 60\\ \mathrm{dB} (uma pessoa) e N=50.
  • Então
L_{\text{tot}} = 60 + 10\log_{10}50.
  • Precisamos calcular \log_{10}50. Use que 50=5\times10, então
\log_{10}50 = \log_{10}5 + \log_{10}10 = \log_{10}5 + 1.
  • E \log_{10}5 \approx 0{,}69897. Portanto
\log_{10}50 \approx 0{,}69897 + 1 = 1{,}69897.
  • Multiplicando por 10:
10\log_{10}50 \approx 10\times 1{,}69897 = 16{,}9897\\ \mathrm{dB}.
  • Somando:
L_{\text{tot}} \approx 60 + 16{,}9897 = 76{,}9897\\ \mathrm{dB}.
  • Arredondando de forma prática para prova (uma casa decimal é suficiente):
L_{\text{tot}} \approx 77{,}0\\ \mathrm{dB}.
Intuição rápida: juntar muitas vozes aumenta o nível, mas não é proporcional — 50 vozes dão só ~17 dB a mais.

Passo 5

Agora o item (b): dado o nível total L_{\text{tot}} = 90\\ \mathrm{dB} para N=50, queremos L_1.
  • Da fórmula invertida:
L_1 = L_{\text{tot}} - 10\log_{10}N.
  • Substituindo L_{\text{tot}}=90 e N=50:
L_1 = 90 - 10\log_{10}50.
  • Já calculamos 10\log_{10}50 \approx 16{,}9897\\ \mathrm{dB}. Assim
L_1 \approx 90 - 16{,}9897 = 73{,}0103\\ \mathrm{dB}.
  • Arredondando:
L_1 \approx 73{,}0\\ \mathrm{dB}.
Ou seja, cada pessoa emite cerca de 73{,}0\\ \mathrm{dB} para que o conjunto chegue a 90\\ \mathrm{dB}.

Passo 6

Duas observações didáticas rápidas (úteis na prova e pra fixar):
  • Dobrar o número de fontes aumenta o nível em cerca de 10\log_{10}2 \approx 3{,}01\\ \mathrm{dB}. Então cada vez que a gente dobra N, soma aproximadamente 3\\ \mathrm{dB}.
  • Aumentos em dB são logarítmicos: muita gente junta dá aumento moderado em dB (por isso para som muito mais alto é preciso mais potência por fonte, não só mais vozes).

Resposta

(a) 77{,}0\\ \mathrm{dB}\n(b) 73{,}0\\ \mathrm{dB}

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