Em quatro situações um corpo em rotação tem sua posição angular \theta (t) dada por (a) \theta=3 t-4, (b) \theta=-5 t^{3}+4 t^{2}+6, (c) \theta=2 / t^{2}-4 / t e (d) \theta=5 t^{2}-3. A quais dessas situações as equações angulares da Tabela 10-1 se aplicam? (Halliday ed. 8 Cap 10 Teste 2)

Passo 1

O enunciado dá quatro expressões para a posição angular \theta(t) em quatro situações e pergunta: a quais dessas situações se aplicam as equações angulares da Tabela 10-1 (Halliday, ed. 8, Cap. 10)? As quatro expressões dadas são:
\text{(a)}\\ \theta(t)=3t-4
\text{(b)}\\ \theta(t)=-5t^{3}+4t^{2}+6
\text{\text{(c)}}\\ \theta(t)=\frac{2}{t^{2}}-\frac{4}{t}
\text{(d)}\\ \theta(t)=5t^{2}-3
O que se pede: identificar, entre (a),(b),(c),(d), em quais a Tabela 10-1 (as fórmulas cinemáticas angulares) pode ser usada.

Passo 2

Antes de testar cada função, vamos revisar o que a Tabela 10-1 contém e quando ela é válida. As fórmulas angulares análogas às do movimento retilíneo uniforme com aceleração constante são válidas somente se a aceleração angular \alpha for constante (independente do tempo). As fórmulas principais são:
\theta=\theta_{0}+\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}
\omega=\omega_{0}+\alpha t
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha(\theta-\theta_{0})
\theta=\theta_{0}+\tfrac{\omega_{0}+\omega}{2}t
Aqui:
\theta(t) é a posição angular (em radianos, por exemplo),
\theta_{0} é a posição angular inicial em t=0,
\omega(t) é a velocidade angular em função do tempo,
\omega_{0} é a velocidade angular inicial em t=0,
\alpha é a aceleração angular (se for constante).
Regra prática: calcule \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt} e \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}. Se \alpha(t) for uma constante (número, não função de t), então as equações acima se aplicam.

Passo 3

Analisando (a): \theta(t)=3t-4.
Calcule a velocidade angular:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}(3t-4)=3.
Calcule a aceleração angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}(3)=0.
Conclusão parcial: \alpha(t)=0, que é uma constante (movimento com velocidade angular constante). Portanto as fórmulas da Tabela 10-1 se aplicam (caso especial com \alpha=0).
Explicação didática do resultado de (a): quando \alpha=0 o termo \tfrac{1}{2}\alpha t^{2} some e as equações reduzem-se ao caso de velocidade angular constante. Na prova, se você detectar que \theta(t) é linear em t, isso indica \omega constante e \alpha=0, então use diretamente as fórmulas com \alpha=0.

Passo 4

Analisando (b): \theta(t)=-5t^{3}+4t^{2}+6.
Calcule a velocidade angular:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}(-5t^{3}+4t^{2}+6)=-15t^{2}+8t.
Calcule a aceleração angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}(-15t^{2}+8t)=-30t+8.
Observação: \alpha(t)=-30t+8 depende explicitamente de t. Não é constante, então as fórmulas da Tabela 10-1 NÃO se aplicam aqui.
Didática sobre (b): polinômios de grau maior que 2 em \theta(t) normalmente geram acelerações que dependem do tempo (porque \alpha envolve a segunda derivada). Se ao derivar você obtiver uma expressão contendo t, desconfie: as equações de aceleração angular constante não valem.

Passo 5

Analisando (c): \theta(t)=\dfrac{2}{t^{2}}-\dfrac{4}{t}. Primeiro reescrever em potências para derivar facilmente:
\theta(t)=2t^{-2}-4t^{-1}.
Calcule a velocidade angular:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=2(-2)t^{-3}-4(-1)t^{-2}=-4t^{-3}+4t^{-2}.
Calcule a aceleração angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}(-4t^{-3}+4t^{-2})=-4(-3)t^{-4}+4(-2)t^{-3}=12t^{-4}-8t^{-3}.
Podemos escrever \alpha(t) com um denominador comum:
\alpha(t)=\frac{12-8t}{t^{4}}.
Conclusão parcial: \alpha(t) depende de t (e ainda tem singularidade em t=0), logo NÃO é constante. Portanto as fórmulas da Tabela 10-1 NÃO se aplicam para (c).
Didática sobre (c): funções com potências negativas em t normalmente geram acelerações que variam com t. Importante na prova: se \theta(t) contém termos como t^{-1},t^{-2} etc., espere \alpha dependente de t e não use as fórmulas de aceleração constante.

Passo 6

Analisando (d): \theta(t)=5t^{2}-3.
Calcule a velocidade angular:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}(5t^{2}-3)=10t.
Calcule a aceleração angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d}{dt}(10t)=10.
Aqui \alpha(t)=10 é uma constante. Portanto as fórmulas da Tabela 10-1 se aplicam (movimento com aceleração angular constante \alpha=10).

Passo 7

Resumo interpretativo e dica de prova: as equações da Tabela 10-1 valem exatamente quando \alpha é constante. Procedimento prático em prova: dado \theta(t), faça duas derivadas rápidas; se a segunda derivada for um número sem t, OK — use as fórmulas e identifique \alpha. Se a segunda derivada contém t, não use as fórmulas.

Resposta

(a) e (d)

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