Em quatro situações um corpo em rotação tem sua posição angular
(t) dada por (a)
, (b)
, (c)
e (d)
. A quais dessas situações as equações angulares da Tabela 10-1 se aplicam? (Halliday ed. 8 Cap 10 Teste 2)
Passo 1
O enunciado dá quatro expressões para a posição angular
em quatro situações e pergunta: a quais dessas situações se aplicam as equações angulares da Tabela 10-1 (Halliday, ed. 8, Cap. 10)? As quatro expressões dadas são:
O que se pede: identificar, entre (a),(b),(c),(d), em quais a Tabela 10-1 (as fórmulas cinemáticas angulares) pode ser usada.
Passo 2
Antes de testar cada função, vamos revisar o que a Tabela 10-1 contém e quando ela é válida. As fórmulas angulares análogas às do movimento retilíneo uniforme com aceleração constante são válidas somente se a aceleração angular
for constante (independente do tempo). As fórmulas principais são:
Aqui:
é a posição angular (em radianos, por exemplo),
é a posição angular inicial em
,
é a velocidade angular em função do tempo,
é a velocidade angular inicial em
,
é a aceleração angular (se for constante).
Regra prática: calcule e
. Se
for uma constante (número, não função de
), então as equações acima se aplicam.
Regra prática: calcule
Passo 3
Analisando (a):
.
Calcule a velocidade angular:
Calcule a velocidade angular:
Calcule a aceleração angular:
Conclusão parcial:
, que é uma constante (movimento com velocidade angular constante). Portanto as fórmulas da Tabela 10-1 se aplicam (caso especial com
).
Explicação didática do resultado de (a): quando o termo
some e as equações reduzem-se ao caso de velocidade angular constante. Na prova, se você detectar que
é linear em
, isso indica
constante e
, então use diretamente as fórmulas com
.
Explicação didática do resultado de (a): quando
Passo 4
Analisando (b):
.
Calcule a velocidade angular:
Calcule a velocidade angular:
Calcule a aceleração angular:
Observação:
depende explicitamente de
. Não é constante, então as fórmulas da Tabela 10-1 NÃO se aplicam aqui.
Didática sobre (b): polinômios de grau maior que 2 em normalmente geram acelerações que dependem do tempo (porque
envolve a segunda derivada). Se ao derivar você obtiver uma expressão contendo
, desconfie: as equações de aceleração angular constante não valem.
Didática sobre (b): polinômios de grau maior que 2 em
Passo 5
Analisando (c):
. Primeiro reescrever em potências para derivar facilmente:
Calcule a velocidade angular:
Calcule a aceleração angular:
Podemos escrever
com um denominador comum:
Conclusão parcial:
depende de
(e ainda tem singularidade em
), logo NÃO é constante. Portanto as fórmulas da Tabela 10-1 NÃO se aplicam para (c).
Didática sobre (c): funções com potências negativas em normalmente geram acelerações que variam com
. Importante na prova: se
contém termos como
etc., espere
dependente de
e não use as fórmulas de aceleração constante.
Didática sobre (c): funções com potências negativas em
Passo 6
Analisando (d):
.
Calcule a velocidade angular:
Calcule a velocidade angular:
Calcule a aceleração angular:
Aqui
é uma constante. Portanto as fórmulas da Tabela 10-1 se aplicam (movimento com aceleração angular constante
).
Passo 7
Resumo interpretativo e dica de prova: as equações da Tabela 10-1 valem exatamente quando
é constante. Procedimento prático em prova: dado
, faça duas derivadas rápidas; se a segunda derivada for um número sem
, OK — use as fórmulas e identifique
. Se a segunda derivada contém
, não use as fórmulas.
Resposta
(a) e (d)