Plot the point whose polar coordinates are given. Then find two other pairs of polar coordinates of this point, one with r>0 and one with r<0.
(a) (2, pi / 3)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas polares (2,pi/3). Precisamos plotá-lo no plano e depois encontrar duas outras representações polares equivalentes, uma com r>0 e outra com r<0.

Passo 2

Para localizar o ponto, convertemos para coordenadas cartesianas usando
x = rcostheta, y = rsintheta
Aqui
x = 2cos!l(tfracpi3r)=2cdottfrac12=1,
y = 2sin!l(tfracpi3r)=2cdottfracraiz32=raiz3
Logo o ponto fica em (1,raiz3), no primeiro quadrante a 60^circ do eixo x.

Passo 3

Para obter outra representação com r>0, basta adicionar 2pi ao ângulo mantendo r=2. Assim
l(r,thetar)=l(2,;tfracpi3+2pir)=l(2,;tfrac7pi3r)

Passo 4

Para achar uma representação com r<0, usamos a propriedade
(r,theta)equiv(-r,;theta+pi)
Logo trocando o sinal de r,
l(r,thetar)=l(-2,;tfracpi3+pir)=l(-2,;tfrac4pi3r)

Resposta

(2,7pi/3) com r>0.
(-2,4pi/3) com r<0.

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