Plot the point whose polar coordinates are given. Then find two other pairs of polar coordinates of this point, one with r>0 and one with r<0.
(c) (-1, pi / 2)

Passo 1

O enunciado pede para plotar o ponto dado em coordenadas polares (-1,pi/2), ou seja, converter para coordenadas cartesianas, mostrar onde ele fica no plano e depois dar duas outras representações polares do mesmo ponto — uma com r>0 e outra com r<0.

Passo 2

Para converter para coordenadas cartesianas usamos as fórmulas
x = rcostheta, y = rsintheta
Aqui r=-1 e theta=pi/2, então
x = -1cdotcospi2 = -1cdot 0 = 0, y = -1cdotsinpi2 = -1cdot 1 = -1
Logo o ponto em coordenadas cartesianas é (0,-1).

Passo 3

O ponto (0,-1) fica sobre o eixo y, um passo abaixo da origem. É só marcar na posição x=0, y=-1.

Passo 4

Para achar uma outra representação polar com r>0 usamos a propriedade
(-r,theta)equiv (r,theta+pi)
Aplicando a (-1,pi/2) temos
(r,theta) = (1,pi/2 + pi) = l(1,tfrac3pi2r),
que de fato gera (x,y)=(1costfrac3pi2,1sintfrac3pi2)=(0,-1).

Passo 5

Para uma outra representação com r<0 basta adicionar 2pi ao ângulo, pois
(r,theta)equiv (r,theta+2pi)
Assim, mantendo r=-1,
(r,theta) = l(-1,pi/2 + 2pir) = l(-1,tfrac5pi2r)

Resposta

Uma forma com r>0 é l(1,tfrac3pi2r).
Uma forma com r<0 é l(-1,tfrac5pi2r).

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