Plot the point whose polar coordinates are given. Then find two other pairs of polar coordinates of this point, one with r>0 and one with r<0.
(c) (1,-1)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas polares (r,theta) = (1,-1) (ângulo em radianos) e pede para plotá-lo e depois achar duas outras representações polares do mesmo ponto, uma com r>0 e outra com r<0. Vamos usar a conversão para coordenadas cartesianas e depois explorar a periodicidade de theta e a troca de sinal em r.

Passo 2

Para localizar o ponto no plano cartesiano, convertemos polares em retangulares pelas fórmulas
x = rcostheta e y = rsintheta.
Como r=1 e theta=-1, temos
x = cos(-1)approx 0,5403,
y = sin(-1)approx -0,8415
Logo o ponto fica em aproximadamente (0,5403,,-0,8415). É aí que se coloca o ponto no gráfico.

Passo 3

Para obter outra representação com r>0, usamos a periodicidade de 2pi em theta. Basta somar 2pi a -1:
(r,theta) = l(1,,-1 + 2pir) = l(1,,2pi - 1r),
que representa o mesmo ponto.

Passo 4

Para uma representação com r<0, usamos a regra
(r,theta)equiv(-r,theta+pi).
Assim,
(r,theta) = l(-1,,-1 + pir) = l(-1,,pi - 1r),
que também leva ao mesmo ponto cartesiano.

Resposta

Uma outra par de coordenadas com r>0:
l(1,,2pi - 1r)
Uma outra par de coordenadas com r<0:
l(-1,,pi - 1r)

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