Para cada uma das funções r(t) abaixo, determine o vetor velocidade, a velocidade escalar e o vetor aceleração.
r(t)=3 cos t i+4 cos t j+5 sin t k

Passo 1

O enunciado dá a função de posição
r(t)=3cos t,i+4cos t,j+5sin t,k
e pede o vetor velocidade v(t), a velocidade escalar v(t) e o vetor aceleração a(t). Vamos usar as regras de derivação de cos t e sin t, a definição de norma para obter a velocidade escalar e derivar novamente para a aceleração.

Passo 2

Derivando componente a componente temos
v(t)=r'(t)=ddtl(3cos tr),i+ddtl(4cos tr),j+ddtl(5sin tr),k
Como ddt(cos t)=-sin t e ddt(sin t)=cos t,
v(t)=-3sin t,i-4sin t,j+5cos t,k

Passo 3

A velocidade escalar v(t) é a norma de v(t):
v(t)=|v(t)| =raiz(-3sin t)^2+(-4sin t)^2+(5cos t)^2 =raiz9sin^2t+16sin^2t+25cos^2t =raiz25(sin^2t+cos^2t) =5

Passo 4

Para o vetor aceleração a(t) derivamos v(t) de novo:
a(t)=v'(t) =ddtl(-3sin tr),i +ddtl(-4sin tr),j +ddtl(5cos tr),k
Usando ddt(sin t)=cos t e ddt(cos t)=-sin t,
a(t)=-3cos t,i-4cos t,j-5sin t,k =-l(3cos t,i+4cos t,j+5sin t,kr) =-r(t)

Resposta

v(t)=-3sin t,i-4sin t,j+5cos t,k
v(t)=5
a(t)=-3cos t,i-4cos t,j-5sin t,k

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