Questăo 3 - Uma empresa dispōe de 3 máquinas ( M1, M2 e M3) para atender uma demanda de 120 unidades de um dado produto. Cada máquina possui uma capacidade máxima de produção, um custo de setup e um custo marginal de produção, conforme mostra a tabela abaixo:
Máquina
Capacidade
(unid/mês)
Custo de Setup
(RS)
Custo Marginal de Produçăo
(R$/unid)
M1 50 2.000,00 25,00
M2 80 2.500,00 20,00
M3 100 3.000,00 22,00
Formule o modelo matemático para determinar o plano ótimo de produção. (2,0 ptos)

Passo 1

O enunciado pede o planejamento de produção de 120 unidades usando três máquinas (M 1, M 2 e M 3), cada uma com capacidade máxima, custo fixo de setup e custo variável por unidade. O objetivo é minimizar o custo total de setup mais o custo de produção. Para isso vamos formular um modelo de Programação Inteira Mista (MIP), definindo variáveis de quantidade produzida e variáveis binárias de ativação das máquinas.

Passo 2

Definimos para cada máquina j\in\{1,2,3\}\): \(\;x_j =\) número de unidades produzidas na máquina \(j\) (variável contínua), \(\;y_j =\) indicador de uso da máquina \(j\), isto é, \[y_j = \begin{cases} 1, & \text{se a máquina \(j for utilizada,}\ 0, & caso contrário. \end{cases}]

Passo 3

A função objetivo minimiza o somatório dos custos de setup e dos custos marginais de produção. Em notação,
\min\;Z \;=\;\sum_{j=1}^{3} \bigl(S_j\,y_j + c_j\,x_j\bigr),
onde (S_1,S_2,S_3) = (2000,\,2500,\,3000) são os custos de setup e (c_1,c_2,c_3) = (25,\,20,\,22) são os custos marginais.

Passo 4

As restrições garantem atendimento da demanda e respeitam a capacidade de cada máquina apenas quando ela for ligada:
x_1 + x_2 + x_3 = 120,
x_j \le C_j\,y_j,\quad j=1,2,3,
onde (C_1,C_2,C_3) = (50,\,80,\,100) são as capacidades máximas.

Passo 5

Definimos os domínios das variáveis:
x_j \ge 0,\quad j=1,2,3,
y_j \in \{0,1\},\quad j=1,2,3.

Resposta

\min\;Z = 2000\,y_1 + 2500\,y_2 + 3000\,y_3 + 25\,x_1 + 20\,x_2 + 22\,x_3
sujeito a
x_1 + x_2 + x_3 = 120,
x_1 \le 50\,y_1,
x_2 \le 80\,y_2,
x_3 \le 100\,y_3,
x_j \ge 0,\;y_j \in \{0,1\},\quad j=1,2,3.

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