Plote as tensões abaixo. Deve conter no mínimo, os pontos por passagem por zero, pico e pontos entre estes. De preferência use papel milímetro.
V(t)=5 \cdot \operatorname{sen}(4 . t)

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe (plote) a tensão dada por
V(t)=5\cdot \operatorname{sen}(4\cdot t)
Deve conter no mínimo: pontos de passagem por zero, picos (máximos e mínimos) e pontos entre esses. O enunciado sugere usar papel milimetrado. Informação dada: a função é uma senoide com amplitude 5 (volts) e argumento 4t (radianos por segundo no argumento). Não há domínio explícito, então vou desenhar pelo menos duas épocas completas para ficar seguro para uma prova.

Passo 2

Entender os parâmetros principais (explicando passo a passo):
  • Amplitude: é o valor máximo da tensão. Aqui a amplitude é 5 (V), isto é, a curva varia entre -5 V e +5 V.
  • Frequência angular ( \omega): é o coeficiente que multiplica t no seno. Aqui
\omega = 4\quad\text{(rad/s)}.
  • Período ( T): é o tempo que a senoide demora para repetir. A fórmula é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aplicando aqui:
T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708\\ \text{s}.
Resumo: uma volta completa dura T=\frac{\pi}{2} s.

Passo 3

Pontos importantes da senoide (fórmulas e por quê):
  • Zeros: \operatorname{sen}(\theta)=0 quando \theta = k\pi com k inteiro. Como aqui \theta=4t, temos zeros para
4t = k\pi \quad\Rightarrow\quad t = \frac{k\pi}{4},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Picos (máximos): \operatorname{sen}(\theta)=+1 quando \theta=\frac{\pi}{2}+2\pi n. Assim
4t = \frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}n.
Nesses instantes V(t)=+5 V.
  • Picos (mínimos): \operatorname{sen}(\theta)=-1 quando \theta=\frac{3\pi}{2}+2\pi n. Assim
4t = \frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad t = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2}n.
Nesses instantes V(t)=-5 V.

Passo 4

Escolha da escala para desenhar no papel milimetrado (motivação e cálculos):
  • Quero que os pontos convenientes caiam em divisões inteiras do papel milimetrado. Se eu escolher representar 1 período T=\frac{\pi}{2} por 40 mm na horizontal, então cada quarto de período (útil para zeros/picos) fica em 10 mm, e cada oitavo de período fica em 5 mm — ótimo para usar a malha.
  • Assim escolho:
    • escala horizontal: 40\\ \text{mm} \leftrightarrow T=\frac{\pi}{2}\\ \text{s}.
      Logo a conversão é 1\\ \text{mm} \\ \widehat{=}\\ \frac{T}{40}=\frac{\pi/2}{40}=\frac{\pi}{80}\\ \text{s},e o fator prático é x(\text{mm}) = t\cdot\frac{80}{\pi}\approx t\cdot 25{,}46479\\ \text{mm/s}.Com essa escolha, \pi/8 s corresponde a 10 mm e \pi/16 s corresponde a 5 mm.
    • escala vertical: para a amplitude 5 V, escolho 10\\ \text{mm} por 1 V (ou seja, 1\\ \text{V}\to 10 mm). Assim +5 V fica a +50 mm acima do eixo neutro e -5 V fica a -50 mm — bem visível.

Passo 5

Escolha de quais pontos calcular explicitamente (para plotagem): vou calcular os pontos em passos de \pi/16 (isto é, a cada 5 mm horizontal). Motivo: \pi/16 dá valores de seno conhecidos (múltiplos de 45^\circ no argumento transformado), e assim temos zeros, picos e vários pontos intermediários suficientes para desenhar com precisão. Para k=0,1,\dots,16 temos
t_k = \frac{k\pi}{16},\qquad V(t_k)=5\sin(4t_k)=5\sin\!\Big(\frac{k\pi}{4}\Big).
Além disso, com a nossa escala horizontal cada incremento k corresponde a 5 mm (porque \pi/16 s \widehat{=} 5 mm).

Passo 6

Calculemos os valores exatos e numéricos úteis para plotagem. Observação: \sin\!\big(\frac{k\pi}{4}\big) assume os valores conhecidos 0,\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\pm1 para k inteiro. Convertendo para volts e para posição em mm (com 10\\ \text{mm/V} vertical e 5\\ \text{mm} por passo horizontal) obtemos a tabela abaixo — esses são os pontos que você deve marcar no papel milimetrado e depois ligar com uma curva suave senoidal:
(na tabela abaixo: para cada k eu dou t exato, t numérico, V(t) exato e numérico, x posição horizontal em mm, y posição vertical em mm)
k = 0: t=\dfrac{0\pi}{16}=0, t\approx 0{,}0000\\ \text{s}, V=0, x=0\\ \text{mm}, y=0\\ \text{mm}
k = 1: t=\dfrac{\pi}{16}, t\approx 0{,}19635\\ \text{s}, V=5\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3{,}5355\\ \text{V}, x=5\\ \text{mm}, y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k = 2: t=\dfrac{\pi}{8}, t\approx 0{,}39270\\ \text{s}, V=5\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=5{,}0000\\ \text{V}, x=10\\ \text{mm}, y=50\\ \text{mm}
k = 3: t=\dfrac{3\pi}{16}, t\approx 0{,}58905\\ \text{s}, V=5\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)=\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3{,}5355\\ \text{V}, x=15\\ \text{mm}, y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k = 4: t=\dfrac{\pi}{4}, t\approx 0{,}78540\\ \text{s}, V=0, x=20\\ \text{mm}, y=0\\ \text{mm}
k = 5: t=\dfrac{5\pi}{16}, t\approx 0{,}98175\\ \text{s}, V=5\sin\!\big(\tfrac{5\pi}{4}\big)=-\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx -3{,}5355\\ \text{V}, x=25\\ \text{mm}, y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k = 6: t=\dfrac{3\pi}{8}, t\approx 1{,}17810\\ \text{s}, V=-5{,}0000\\ \text{V}, x=30\\ \text{mm}, y=-50\\ \text{mm}
k = 7: t=\dfrac{7\pi}{16}, t\approx 1{,}37445\\ \text{s}, V\approx -3{,}5355\\ \text{V}, x=35\\ \text{mm}, y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k = 8: t=\dfrac{\pi}{2}, t\approx 1{,}57080\\ \text{s}, V=0, x=40\\ \text{mm}, y=0\\ \text{mm}
k = 9: t=\dfrac{9\pi}{16}, t\approx 1{,}76715\\ \text{s}, V\approx 3{,}5355\\ \text{V}, x=45\\ \text{mm}, y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k = 10: t=\dfrac{5\pi}{8}, t\approx 1{,}96350\\ \text{s}, V=5{,}0000\\ \text{V}, x=50\\ \text{mm}, y=50\\ \text{mm}
k = 11: t=\dfrac{11\pi}{16}, t\approx 2{,}15985\\ \text{s}, V\approx 3{,}5355\\ \text{V}, x=55\\ \text{mm}, y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k = 12: t=\dfrac{3\pi}{4}, t\approx 2{,}35619\\ \text{s}, V=0, x=60\\ \text{mm}, y=0\\ \text{mm}
k = 13: t=\dfrac{13\pi}{16}, t\approx 2{,}55254\\ \text{s}, V\approx -3{,}5355\\ \text{V}, x=65\\ \text{mm}, y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k = 14: t=\dfrac{7\pi}{8}, t\approx 2{,}74889\\ \text{s}, V=-5{,}0000\\ \text{V}, x=70\\ \text{mm}, y=-50\\ \text{mm}
k = 15: t=\dfrac{15\pi}{16}, t\approx 2{,}94524\\ \text{s}, V\approx -3{,}5355\\ \text{V}, x=75\\ \text{mm}, y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k = 16: t=\dfrac{\pi}{1}=\pi, t\approx 3{,}14159\\ \text{s}, V=0, x=80\\ \text{mm}, y=0\\ \text{mm}
(Observação prática: repare que com nossa escolha cada passo k avança 5 mm horizontal — isso facilita traçar no papel milimetrado marcando colunas a cada 5 mm.)

Passo 7

Como desenhar no papel milimetrado (passo a passo prático e dicas):
  1. Pegue uma folha de papel milimetrado. Desenhe o eixo horizontal (tempo) e vertical (tensão). Marque o centro horizontal como V=0.
  2. Na horizontal, marque de x=0 a x=80 mm (isso cobre dois períodos). Coloque marcas a cada 5 mm (cada marca corresponde a t=\dfrac{k\pi}{16}).
  3. Na vertical, marque de -50 mm a +50 mm com a escala 10 mm por 1 V (ou seja, cada quadradinho de 1 mm corresponde a 0{,}1 V verticalmente).
  4. Transfira os pontos da tabela: para cada k posicione o ponto em (x=\text{mm},\\ y=\text{mm}) conforme a coluna da tabela. Ex.: o máximo em t=\dfrac{\pi}{8} fica em x=10 mm e y=+50 mm.
  5. Una os pontos com uma curva suave, sem arestas — a senoide é uma curva lisa. Não pontilhe reto entre extremos; faça uma curva contínua passando pelas coordenadas.
  6. Identifique e escreva nas marcações principais: tempos de zeros e picos (use as expressões exatas em função de \pi caso queira mostrar rigor: por ex. t=\dfrac{\pi}{8}, t=\dfrac{\pi}{4}, etc.).
  7. Se quiser mais precisão, marque mais pontos entre os já dados (por exemplo somando passos menores que \pi/16), mas para a prova normalmente os pontos acima (a cada \pi/16) são suficientes.

Passo 8

Resumo didático rápido (como você aplica isso na prova):
  • Identifique amplitude e \omega. Calcule T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Ache zeros por resolver 4t=k\pi. Ache picos por resolver 4t=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n (máximos) e 4t=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n (mínimos).
  • Escolha escalas que façam as divisões importantes caírem em quadrículas do papel milimetrado (como eu fiz: 40 mm por período, 10 mm por volt).
  • Calcule alguns pontos-chave (zeros e picos) e alguns intermediários (aqui fiz a cada \pi/16). Plote e una suavemente.

Resposta

k=0:\\ t=0,\\ V=0,\\ x=0\\ \text{mm},\\ y=0\\ \text{mm}
k=1:\\ t=\dfrac{\pi}{16}\approx 0{,}19635\\ \text{s},\\ V=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3{,}5355\\ \text{V},\\ x=5\\ \text{mm},\\ y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k=2:\\ t=\dfrac{\pi}{8}\approx 0{,}39270\\ \text{s},\\ V=5{,}0000\\ \text{V},\\ x=10\\ \text{mm},\\ y=50\\ \text{mm}
k=3:\\ t=\dfrac{3\pi}{16}\approx 0{,}58905\\ \text{s},\\ V\approx 3{,}5355\\ \text{V},\\ x=15\\ \text{mm},\\ y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k=4:\\ t=\dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}78540\\ \text{s},\\ V=0,\\ x=20\\ \text{mm},\\ y=0\\ \text{mm}
k=5:\\ t=\dfrac{5\pi}{16}\approx 0{,}98175\\ \text{s},\\ V\approx -3{,}5355\\ \text{V},\\ x=25\\ \text{mm},\\ y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k=6:\\ t=\dfrac{3\pi}{8}\approx 1{,}17810\\ \text{s},\\ V=-5{,}0000\\ \text{V},\\ x=30\\ \text{mm},\\ y=-50\\ \text{mm}
k=7:\\ t=\dfrac{7\pi}{16}\approx 1{,}37445\\ \text{s},\\ V\approx -3{,}5355\\ \text{V},\\ x=35\\ \text{mm},\\ y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k=8:\\ t=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57080\\ \text{s},\\ V=0,\\ x=40\\ \text{mm},\\ y=0\\ \text{mm}
k=9:\\ t=\dfrac{9\pi}{16}\approx 1{,}76715\\ \text{s},\\ V\approx 3{,}5355\\ \text{V},\\ x=45\\ \text{mm},\\ y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k=10:\\ t=\dfrac{5\pi}{8}\approx 1{,}96350\\ \text{s},\\ V=5{,}0000\\ \text{V},\\ x=50\\ \text{mm},\\ y=50\\ \text{mm}
k=11:\\ t=\dfrac{11\pi}{16}\approx 2{,}15985\\ \text{s},\\ V\approx 3{,}5355\\ \text{V},\\ x=55\\ \text{mm},\\ y\approx 35{,}355\\ \text{mm}
k=12:\\ t=\dfrac{3\pi}{4}\approx 2{,}35619\\ \text{s},\\ V=0,\\ x=60\\ \text{mm},\\ y=0\\ \text{mm}
k=13:\\ t=\dfrac{13\pi}{16}\approx 2{,}55254\\ \text{s},\\ V\approx -3{,}5355\\ \text{V},\\ x=65\\ \text{mm},\\ y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k=14:\\ t=\dfrac{7\pi}{8}\approx 2{,}74889\\ \text{s},\\ V=-5{,}0000\\ \text{V},\\ x=70\\ \text{mm},\\ y=-50\\ \text{mm}
k=15:\\ t=\dfrac{15\pi}{16}\approx 2{,}94524\\ \text{s},\\ V\approx -3{,}5355\\ \text{V},\\ x=75\\ \text{mm},\\ y\approx -35{,}355\\ \text{mm}
k=16:\\ t=\pi\approx 3{,}14159\\ \text{s},\\ V=0,\\ x=80\\ \text{mm},\\ y=0\\ \text{mm}

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