Poço sem fundo. Suponha que seja possível construir um túnel atravessando a Terra de um lado ao outro, passando pelo seu centro. Pode-se provar que, ao longo do túnel, a força da gravidade é dada por
onde
é igual a
é a massa do corpo,
é a distância ao centro da Terra, e
é o raio da Terra
.
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? ( 41.8 min )
b) Com qual velocidade o objeto passaria pelo centro da Terra? (
)
(Despreze o atrito e outras forças dissipativas)
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? ( 41.8 min )
b) Com qual velocidade o objeto passaria pelo centro da Terra? (
(Despreze o atrito e outras forças dissipativas)
Passo 1
O enunciado descreve um objeto de massa
que se move num túnel que atravessa a Terra, sob a força
onde
é a distância ao centro e
o raio da Terra. Esse tipo de força é proporcional a
com sinal negativo, caracterizando um movimento harmônico simples (MHS). Para resolver, vamos usar a equação de Newton para MHS e depois determinar o período e a velocidade máxima.
Passo 2
Escrevendo a segunda lei de Newton para a coordenada radial
,
divide-se por
para obter a forma canônica do MHS:
Dessa forma, a frequência angular é
Passo 3
O período completo do MHS é
Como queremos o tempo para ir de uma superfície ao outro lado da Terra (isto é, metade do ciclo completo), basta tomar
Passo 4
Substituindo
e
:
logo
Arredondando conforme o enunciado, temos cerca de
minutos.
Passo 5
A velocidade máxima ocorre ao passar pelo centro, onde toda a energia potencial virou cinética. Em MHS isso equivale a
Numericamente,
Resposta
(a)
minutos
(b)
(b)