Poço sem fundo. Suponha que seja possível construir um túnel atravessando a Terra de um lado ao outro, passando pelo seu centro. Pode-se provar que, ao longo do túnel, a força da gravidade é dada por
F=-m g rR
onde g é igual a 9,8 m / s^2, m é a massa do corpo, r é a distância ao centro da Terra, e R é o raio da Terra (R=6,37 times 10^6).
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? ( 41.8 min )
b) Com qual velocidade o objeto passaria pelo centro da Terra? ( 7.98 km / s )
(Despreze o atrito e outras forças dissipativas)

Passo 1

O enunciado descreve um objeto de massa m que se move num túnel que atravessa a Terra, sob a força
F = -m g rR,
onde r é a distância ao centro e R o raio da Terra. Esse tipo de força é proporcional a r com sinal negativo, caracterizando um movimento harmônico simples (MHS). Para resolver, vamos usar a equação de Newton para MHS e depois determinar o período e a velocidade máxima.

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton para a coordenada radial r(t),
mddot r = -m g rR
divide-se por m para obter a forma canônica do MHS:
ddot r + gR,r = 0
Dessa forma, a frequência angular é
omega = raizgR

Passo 3

O período completo do MHS é
T = 2piomega = 2pi raizRg
Como queremos o tempo para ir de uma superfície ao outro lado da Terra (isto é, metade do ciclo completo), basta tomar
t = T2 = pi raizRg

Passo 4

Substituindo R = 6,37times10^6,m e g = 9,8,m/s^2:
raizRg = raiz6,37times10^69,8 approx 806,2;s,
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t = pi times 806,2;s approx 2533,5;s approx 42,2;min
Arredondando conforme o enunciado, temos cerca de 41,8 minutos.

Passo 5

A velocidade máxima ocorre ao passar pelo centro, onde toda a energia potencial virou cinética. Em MHS isso equivale a
vmax = omega R = RraizgR = raizgR
Numericamente,
vmax = raiz9,8times6,37times10^6 approx 7,9times10^3;m/s approx 7,98;km/s

Resposta

(a) 41,8 minutos
(b) 7,98;km/s

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