Escreva a equação que representa a lei de Newton da viscosidade para escoamento fluido (1D) na direção (X) com espessura na direção (Y). Identifique os elementos que aparecem na equação.

Passo 1

O enunciado pede: escrever a equação que representa a lei de Newton da viscosidade para escoamento unidimensional (1D) na direção X considerando variação/espessura na direção Y, e identificar os elementos que aparecem nessa equação.
Informações dadas e o que é esperado:
  • Escoamento 1D: velocidade principal é ao longo de X, chama-se u_x.
  • A variação da velocidade ocorre na direção Y (espessura/gradiente em y).
  • Deve-se fornecer a equação que relaciona tensão de cisalhamento com o gradiente de velocidade e explicar cada termo (o que é, unidades, interpretação física).

Passo 2

Conceito de tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade, de forma bem simples.
  • Tensão de cisalhamento é força tangencial por unidade de área que atua entre camadas do fluido. Denota-se com \tau e a unidade no SI é \text{Pa} = \text{N}\,\text{m}^{-2}.
  • Num escoamento 1D com velocidade u_x(y), as camadas do fluido em diferentes alturas y deslizam umas sobre as outras. A taxa de variação de u_x com y — o gradiente \dfrac{\partial u_x}{\partial y} — mede quanto as camadas “escoram” entre si. A unidade de \dfrac{\partial u_x}{\partial y} é \text{s}^{-1} (velocidade em \text{m}\,\text{s}^{-1} dividida por comprimento em \text{m}).

Passo 3

Enunciado da lei de Newton da viscosidade (forma local, diferencial) para um fluido newtoniano numa situação 1D simples.
A lei diz que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade. Escrevemos, em forma usual:
\tau_{xy} = \mu\,\frac{\partial u_x}{\partial y}
Explanação breve do índice: \tau_{xy} é a componente da tensão que atua na direção x sobre uma face cujo normal está na direção y. Essa é a notação clássica de tensores de tensão.

Passo 4

Significado detalhado de cada símbolo e unidades (para você decorar e aplicar na prova).
  • \tau_{xy}: tensão de cisalhamento no plano normal a y apontando na direção x. Unidade: \text{Pa} (pascal) ou \text{N}\,\text{m}^{-2}.
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido (também denotada por \eta em alguns livros). Unidade: \text{Pa}\cdot\text{s} (ou \text{N}\cdot\text{s}\,\text{m}^{-2}). Representa a “espessura” interna do fluido; quanto maior \mu, maior resistência ao cisalhamento.
  • u_x: componente da velocidade na direção x. Unidade: \text{m}\,\text{s}^{-1}.
  • y: coordenada na direção transversal (a espessura), unidade \text{m}.
  • \dfrac{\partial u_x}{\partial y}: derivada parcial de u_x em relação a y, o gradiente de velocidade; mede a taxa de variação da velocidade entre camadas.

Passo 5

Interpretação física e orientação prática para a prova (como usar a fórmula sem calculadora).
  • A fórmula diz: se a velocidade muda rapidamente com y (agradiente grande), a tensão de cisalhamento é grande; a viscosidade \mu é o fator de proporcionalidade.
  • Em problemas discretos (por exemplo, entre duas placas separadas por distância h com velocidades conhecidas), pode-se aproximar o gradiente por diferença finita:
\frac{\partial u_x}{\partial y}\approx\frac{u_x(y+\Delta y)-u_x(y)}{\Delta y}.
  • Exemplo concreto tipo prova: placa inferior fixa ( u=0 em y=0), placa superior movendo-se com U em y=h. Perfil linear dá \dfrac{\partial u_x}{\partial y}=\dfrac{U}{h} e, portanto,
\tau_{xy}=\mu\,\frac{U}{h}.
  • Valores típicos para ter noção: água à temperatura ambiente \mu\approx 1{,}0\times 10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}. Se U=1\\ \text{m/s} e h=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}, então \tau_{xy}\approx 1{,}0\times10^{0}\\ \text{Pa}=1\\ \text{Pa}.

Passo 6

Observações sobre sinal e generalizações (importante para interpretar resultados em provas).
  • O sinal da tensão depende da convenção de orientação da face e do sentido positivo de força. A forma escalar \tau_{xy}=\mu\,\partial u_x/\partial y é a expressão básica; para força real sobre uma face pode aparecer um sinal negativo dependendo de quem exerce força sobre quem. Em problemas de equilíbrio, atenção à orientação dos vetores de força.
  • Generalização 3D (útil saber se cair na prova): para um fluido newtoniano incompressível a dependência das tensões com gradientes de velocidade é dada por
\tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),
que, no caso 1D e para i=x,\,j=y, reduz à expressão usada acima.

Passo 7

Resumo final curto antes da resposta (motivação amigável).
  • Em resumo: para o seu caso 1D com escoamento ao longo de X e variação em Y, a forma que você tem que decorar e usar é simples, direta e aparece muito em provas de mecânica dos fluidos e transporte de momento. Vamos à resposta final.

Resposta

\tau_{xy}=\mu\,\frac{\partial u_x}{\partial y}

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