Escreva a equação que representa a lei de Newton da viscosidade para escoamento fluido (1D) na direção (X) com espessura na direção (Y). Identifique os elementos que aparecem na equação.
Passo 1
O enunciado pede: escrever a equação que representa a lei de Newton da viscosidade para escoamento unidimensional (1D) na direção
considerando variação/espessura na direção
, e identificar os elementos que aparecem nessa equação.
Informações dadas e o que é esperado:
- Escoamento 1D: velocidade principal é ao longo de
, chama-se . - A variação da velocidade ocorre na direção
(espessura/gradiente em ). - Deve-se fornecer a equação que relaciona tensão de cisalhamento com o gradiente de velocidade e explicar cada termo (o que é, unidades, interpretação física).
Passo 2
Conceito de tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade, de forma bem simples.
- Tensão de cisalhamento é força tangencial por unidade de área que atua entre camadas do fluido. Denota-se com
e a unidade no SI é . - Num escoamento 1D com velocidade
, as camadas do fluido em diferentes alturas deslizam umas sobre as outras. A taxa de variação de com — o gradiente — mede quanto as camadas “escoram” entre si. A unidade de é (velocidade em dividida por comprimento em ).
Passo 3
Enunciado da lei de Newton da viscosidade (forma local, diferencial) para um fluido newtoniano numa situação 1D simples.
A lei diz que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade. Escrevemos, em forma usual:
Explanação breve do índice:
é a componente da tensão que atua na direção
sobre uma face cujo normal está na direção
. Essa é a notação clássica de tensores de tensão.
Passo 4
Significado detalhado de cada símbolo e unidades (para você decorar e aplicar na prova).
-
: tensão de cisalhamento no plano normal a apontando na direção . Unidade: (pascal) ou . -
: viscosidade dinâmica do fluido (também denotada por em alguns livros). Unidade: (ou ). Representa a “espessura” interna do fluido; quanto maior , maior resistência ao cisalhamento. -
: componente da velocidade na direção . Unidade: . -
: coordenada na direção transversal (a espessura), unidade . -
: derivada parcial de em relação a , o gradiente de velocidade; mede a taxa de variação da velocidade entre camadas.
Passo 5
Interpretação física e orientação prática para a prova (como usar a fórmula sem calculadora).
- A fórmula diz: se a velocidade muda rapidamente com
(agradiente grande), a tensão de cisalhamento é grande; a viscosidade é o fator de proporcionalidade. - Em problemas discretos (por exemplo, entre duas placas separadas por distância
com velocidades conhecidas), pode-se aproximar o gradiente por diferença finita:
- Exemplo concreto tipo prova: placa inferior fixa (
em ), placa superior movendo-se com em . Perfil linear dá e, portanto,
- Valores típicos para ter noção: água à temperatura ambiente
. Se e , então .
Passo 6
Observações sobre sinal e generalizações (importante para interpretar resultados em provas).
- O sinal da tensão depende da convenção de orientação da face e do sentido positivo de força. A forma escalar
é a expressão básica; para força real sobre uma face pode aparecer um sinal negativo dependendo de quem exerce força sobre quem. Em problemas de equilíbrio, atenção à orientação dos vetores de força. - Generalização 3D (útil saber se cair na prova): para um fluido newtoniano incompressível a dependência das tensões com gradientes de velocidade é dada por
que, no caso 1D e para
, reduz à expressão usada acima.
Passo 7
Resumo final curto antes da resposta (motivação amigável).
- Em resumo: para o seu caso 1D com escoamento ao longo de
e variação em , a forma que você tem que decorar e usar é simples, direta e aparece muito em provas de mecânica dos fluidos e transporte de momento. Vamos à resposta final.