Uma progressão aritmética é uma sequência de números reais
tais que a partir do segundo termo todos os demais são o anterior adicionado de uma constante
. Prove que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma progressão aritmética (PA), que é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior mais uma constante chamada de razão ®. O objetivo é provar que a soma dos primeiros n termos dessa PA pode ser calculada pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de PA e como somar seus termos.
Passo 2
Sabemos que em uma PA, cada termo após o primeiro é obtido adicionando a razão r ao termo anterior. Então, podemos expressar o n-ésimo termo (aₙ) da seguinte maneira:
Isso nos ajuda a relacionar qualquer termo da sequência com o primeiro termo e a razão.
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma dos primeiros n termos da PA, que é Sₙ = a₁ + a₂ + \cdots + aₙ. Nossa meta é mostrar que essa soma é igual a (n(a₁ + aₙ))/2.
Passo 4
Uma maneira eficiente de somar os termos de uma PA é pareando o primeiro e o último termo, o segundo e o penúltimo, e assim por diante. Cada um desses pares terá a mesma soma:
Como a PA tem n termos, teremos n/2 desses pares.
Passo 5
Então, multiplicamos a soma de um par pelo número de pares para obter a soma total dos n termos:
Resposta
Portanto, provamos que a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética é: