Uma progressão aritmética é uma sequência de números reais (a1, a2, ldots, an, ldots) tais que a partir do segundo termo todos os demais são o anterior adicionado de uma constante r neq 0. Prove que:
a1+a2+cdots+an=n(a1+an)2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma progressão aritmética (PA), que é uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior mais uma constante chamada de razão ®. O objetivo é provar que a soma dos primeiros n termos dessa PA pode ser calculada pela fórmula:
a1 + a2 + cdots + an = n(a1 + an)2
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de PA e como somar seus termos.

Passo 2

Sabemos que em uma PA, cada termo após o primeiro é obtido adicionando a razão r ao termo anterior. Então, podemos expressar o n-ésimo termo (aₙ) da seguinte maneira:
an = a1 + (n - 1)r
Isso nos ajuda a relacionar qualquer termo da sequência com o primeiro termo e a razão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dos primeiros n termos da PA, que é Sₙ = a₁ + a₂ + \cdots + aₙ. Nossa meta é mostrar que essa soma é igual a (n(a₁ + aₙ))/2.

Passo 4

Uma maneira eficiente de somar os termos de uma PA é pareando o primeiro e o último termo, o segundo e o penúltimo, e assim por diante. Cada um desses pares terá a mesma soma:
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = cdots
Como a PA tem n termos, teremos n/2 desses pares.

Passo 5

Então, multiplicamos a soma de um par pelo número de pares para obter a soma total dos n termos:
Sn = n2(a1 + an)

Resposta

Portanto, provamos que a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética é:
a1 + a2 + cdots + an = n(a1 + an)2

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