O que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det} \operatorname{det}(A), sabendo-se que A é uma matriz n \times n tal que
A^{2}=5 A

Passo 1

O enunciado nos dá que A é uma matriz n\times n e que
A^{2}=5A.
A pergunta é: o que pode ser dito sobre o valor de \operatorname{det}\operatorname{det}(A). Vou interpretar isto como a questão sobre o valor de \det(A) (pois \det(A) é um número escalar e a aplicação \det é definida para matrizes quadradas). Portanto, queremos caracterizar os possíveis valores de \det(A) sabendo que A^{2}=5A.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A é quadrada de ordem n.
  • A^{2}=5A, isto é, A(A-5I)=0, onde I é a matriz identidade n\times n.

Passo 2

Fatorando a equação dada, obtemos a identidade matricial
A(A-5I)=0.
Explicando passo a passo: multiplicação e adição de matrizes obedecem às mesmas propriedades distributiva/associativa que números, então podemos tratar A^{2}-5A como (A)(A)-5(A)=A(A-5I). O lado direito é a matriz zero (todas as entradas zero).

Passo 3

Aplicamos a função determinante à igualdade A(A-5I)=0. Usamos duas propriedades importantes do determinante:
  • Para matrizes quadradas X,Y da mesma ordem vale \det(XY)=\det(X)\det(Y).
  • \det(0)=0 (determinante da matriz zero é zero).
Tomando determinantes,
\det\bigl(A(A-5I)\bigr)=\det(0)=0.
Pela multiplicatividade,
\det(A)\,\det(A-5I)=0.
Portanto, pelo produto ser zero, temos duas possibilidades:
  • \det(A)=0, ou
  • \det(A-5I)=0.
Explicando o significado: \det(A)=0 significa que A é singular (não invertível). \det(A-5I)=0 significa que 5 é um autovalor de A (pois \det(A-5I)=0 é a condição para que A-5I seja singular).

Passo 4

Agora uma explicação via autovalores (é um atalho conceitual muito útil e fácil de aplicar aqui). Se v\neq 0 é um autovetor de A com autovalor \lambda, então Av=\lambda v. Aplicando a relação A^{2}=5A a v obtemos
A^{2}v=5Av \quad\Rightarrow\quad A(Av)=5Av \quad\Rightarrow\quad A(\lambda v)=5(\lambda v).
Isto reduz a
\lambda^{2}v=5\lambda v.
Como v\neq 0, podemos comparar os fatores e obter
\lambda^{2}=5\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda(\lambda-5)=0.
Logo todo autovalor \lambda de A satisfaz \lambda=0 ou \lambda=5. Ou seja, os autovalores de A só podem ser 0 ou 5.

Passo 5

Recordando que o determinante de A é o produto dos autovalores (contando multiplicidades), se algum autovalor for 0 então o produto será 0. Só haverá produto não nulo se nenhum autovalor for 0, ou seja, apenas se todos os n autovalores forem 5. Nesse caso,
\det(A)=5\cdot5\cdots5=5^{n}.
Assim concluímos que as únicas possibilidades para \det(A) são:
  • \det(A)=0 (se existir pelo menos um autovalor igual a 0), ou
  • \det(A)=5^{n} (se todos os autovalores são 5, o que equivale a A=5I, como pode ser visto também pela multiplicação à esquerda por A^{-1} quando A é invertível).
Exemplos rápidos para fixar:
  • A matriz A=0 (matriz zero) satisfaz A^{2}=5A e tem \det(A)=0.
  • A matriz A=5I satisfaz A^{2}=25I=5(5I)=5A e tem \det(A)=5^{n}.
  • A matriz diagonal A=\operatorname{diag}(5,0,0,\dots,0) satisfaz A^{2}=5A e tem \det(A)=0.

Passo 6

Resumo final do raciocínio: a relação A^{2}=5A força os autovalores a serem 0 ou 5; o determinante é o produto desses autovalores; portanto ou aparece ao menos um 0 e \det(A)=0, ou não aparece nenhum 0 e todos os autovalores são 5, dando \det(A)=5^{n}.

Resposta

\det(A)\in\{0,\,5^{n}\}

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