O que pode ser dito sobre o valor
, sabendo-se que
é uma matriz
tal que
Passo 1
O enunciado nos dá que
é uma matriz
e que
A pergunta é: o que pode ser dito sobre o valor de
. Vou interpretar isto como a questão sobre o valor de
(pois
é um número escalar e a aplicação
é definida para matrizes quadradas). Portanto, queremos caracterizar os possíveis valores de
sabendo que
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é quadrada de ordem . -
, isto é, , onde é a matriz identidade .
Passo 2
Fatorando a equação dada, obtemos a identidade matricial
Explicando passo a passo: multiplicação e adição de matrizes obedecem às mesmas propriedades distributiva/associativa que números, então podemos tratar
como
. O lado direito é a matriz zero (todas as entradas zero).
Passo 3
Aplicamos a função determinante à igualdade
. Usamos duas propriedades importantes do determinante:
- Para matrizes quadradas
da mesma ordem vale . -
(determinante da matriz zero é zero).
Tomando determinantes,
Pela multiplicatividade,
Portanto, pelo produto ser zero, temos duas possibilidades:
-
, ou -
.
Explicando o significado:
significa que
é singular (não invertível).
significa que
é um autovalor de
(pois
é a condição para que
seja singular).
Passo 4
Agora uma explicação via autovalores (é um atalho conceitual muito útil e fácil de aplicar aqui). Se
é um autovetor de
com autovalor
, então
. Aplicando a relação
a
obtemos
Isto reduz a
Como
, podemos comparar os fatores e obter
Logo todo autovalor
de
satisfaz
ou
. Ou seja, os autovalores de
só podem ser
ou
.
Passo 5
Recordando que o determinante de
é o produto dos autovalores (contando multiplicidades), se algum autovalor for
então o produto será
. Só haverá produto não nulo se nenhum autovalor for
, ou seja, apenas se todos os
autovalores forem
. Nesse caso,
Assim concluímos que as únicas possibilidades para
são:
-
(se existir pelo menos um autovalor igual a ), ou -
(se todos os autovalores são , o que equivale a , como pode ser visto também pela multiplicação à esquerda por quando é invertível).
Exemplos rápidos para fixar:
- A matriz
(matriz zero) satisfaz e tem . - A matriz
satisfaz e tem . - A matriz diagonal
satisfaz e tem .
Passo 6
Resumo final do raciocínio: a relação
força os autovalores a serem
ou
; o determinante é o produto desses autovalores; portanto ou aparece ao menos um
e
, ou não aparece nenhum
e todos os autovalores são
, dando
.