O que pode ser dito sobre o valor de det(A), sabendo-se que A é uma matriz n times n tal que
(i) A^2=I, (ii) A^3=I, (iii) A^2=5 A, (iv) A=-A^t, (v) A^2+I=0, (vi) A^3=A, (vii) A^-1=A^t ?

Passo 1

Estamos com uma matriz Ain R^ntimes n (ou em C^ntimes n) e queremos, para cada uma das condições abaixo, deduzir quais valores a função determinante det(A) pode assumir. Vamos usar as propriedades básicas:
det(A^k)=l(det(A)r)^k.
det(A^T)=det(A).
det(c,I)=c^n.

Passo 2

(i) A^2 = I.
Aplicando determinante em ambos os lados:
det(A^2)=det(I)Longrightarrowl(det(A)r)^2=1
Logo
det(A)=pm1

Passo 3

(ii) A^3 = I.
De novo, tirando determinantes:
det(A^3)=det(I)Longrightarrowl(det(A)r)^3=1
– Se det(A) for real, a única solução é
det(A)=1.
– Se permitirmos valores complexos, det(A) pode ser qualquer raiz cúbica de 1: 1,;e^2pi i/3,;e^4pi i/3.

Passo 4

(iii) A^2 = 5A.
Escreva A^2 -5A=0, ou seja, A(A-5I)=0. Tirando determinante:
det(A),det(A-5I)=0
Isso implica que pelo menos um dos fatores se anula:
det(A)=0 ou det(A-5I)=0
Mas det(A-5I)=detl(5(I-tfrac1 5A)r)=5^n,det(I-tfrac1 5A). Se det(A-5I)=0 então det(I-tfrac1 5A)=0, o que equivale ao mesmo que det(A)=5^n.
Portanto
det(A)in0,;5^n

Passo 5

(iv) A = -A^T.
Então
det(A)=det(-A^T)=det(-I),det(A^T)=(-1)^n,det(A)
Logo
det(A)l(1-(-1)^nr)=0
– Se n é ímpar, 1-(-1)^n=2neq0, então det(A)=0.
– Se n é par, 1-(-1)^n=0, não há restrição adicional — det(A) pode ser qualquer valor (no caso real, costuma acontecer det(A)>=0, mas não há obrigação de ser zero).

Passo 6

(v) A^2 + I=0, isto é, A^2=-I.
Tirando determinante:
det(A^2)=det(-I)Longrightarrowl(det(A)r)^2=(-1)^n
– Se trabalhamos em R, o lado direito só é não-negativo quando n é par, dando l(det(A)r)^2=1 e, assim, det(A)=pm1. Para n ímpar não há matriz real satisfazendo A^2=-I.
– Em C, det(A)=pm i^n, ou seja, det(A)^2=(-1)^n.

Passo 7

(vi) A^3 = A.
Reescreva A^3-A=0 como
A,(A-I),(A+I)=0
Tirando determinante:
det(A),det(A-I),det(A+I)=0
Isso mostra que pelo menos um dos fatores é zero. Como det(A-I) e det(A+I) só se anulam se 1 ou -1 forem valores próprios de A, concluímos que os autovalores de A pertencem a 0,1,-1. Assim,
det(A)=prodk=1^nlambdakcom lambdakin0,1,-1,
logo
det(A)in0,,1,,-1

Passo 8

(vii) A^-1=A^T.
Isto significa que A é uma matriz ortogonal (se sobre R). Tirando determinantes em A^-1=A^T
1det(A)=det(A^T)=det(A)Longrightarrowl(det(A)r)^2=1
Como A é invertível, det(A)neq0, sobra
det(A)=pm1

Resposta

(i) det(A)=pm1.
(ii) det(A)=1 (se real) ou qualquer raiz cúbica de 1 (se complexo).
(iii) det(A)in0,5^n.
(iv) det(A)=0 se n ímpar; para n par, sem restrição extra.
(v) det(A)^2=(-1)^n, logo em R só existe para n par e det(A)=pm1.
(vi) det(A)in0,1,-1.
(vii) det(A)=pm1.

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