O que pode ser dito sobre o valor
, sabendo-se que
é uma matriz
tal que
(i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
, (v)
, (vi)
, (vii)
?
(i)
Passo 1
Estamos com uma matriz
(ou em
) e queremos, para cada uma das condições abaixo, deduzir quais valores a função determinante
pode assumir. Vamos usar as propriedades básicas:
– .
– .
– .
–
–
–
Passo 2
(i)
.
Aplicando determinante em ambos os lados:
Aplicando determinante em ambos os lados:
Logo
Passo 3
(ii)
.
De novo, tirando determinantes:
De novo, tirando determinantes:
– Se
for real, a única solução é
.
– Se permitirmos valores complexos, pode ser qualquer raiz cúbica de
:
.
– Se permitirmos valores complexos,
Passo 4
(iii)
.
Escreva , ou seja,
. Tirando determinante:
Escreva
Isso implica que pelo menos um dos fatores se anula:
Mas
. Se
então
, o que equivale ao mesmo que
.
Portanto
Portanto
Passo 5
(iv)
.
Então
Então
Logo
– Se
é ímpar,
, então
.
– Se é par,
, não há restrição adicional —
pode ser qualquer valor (no caso real, costuma acontecer
, mas não há obrigação de ser zero).
– Se
Passo 6
(v)
, isto é,
.
Tirando determinante:
Tirando determinante:
– Se trabalhamos em
, o lado direito só é não-negativo quando
é par, dando
e, assim,
. Para
ímpar não há matriz real satisfazendo
.
– Em ,
, ou seja,
.
– Em
Passo 7
(vi)
.
Reescreva como
Reescreva
Tirando determinante:
Isso mostra que pelo menos um dos fatores é zero. Como
e
só se anulam se
ou
forem valores próprios de
, concluímos que os autovalores de
pertencem a
. Assim,
logo
Passo 8
(vii)
.
Isto significa que é uma matriz ortogonal (se sobre
). Tirando determinantes em
dá
Isto significa que
Como
é invertível,
, sobra
Resposta
(i)
.
(ii) (se real) ou qualquer raiz cúbica de 1 (se complexo).
(iii) .
(iv) se
ímpar; para
par, sem restrição extra.
(v) , logo em
só existe para
par e
.
(vi) .
(vii) .
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)