Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{aligned} x+2 y+3 z & =1 \\\\ 2 x+4 y+5 z & =1 \\\ x+2 y+2 z & =0\end{aligned} \quad(\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo, encontrando todos os x,y,z\) que satisfazem as três equações: \[\begin{cases} x+2y+3z=1\\[4pt] 2x+4y+5z=1\\[4pt] x+2y+2z=0 \end{cases}
Informações relevantes dadas: as três equações acima (cada uma relaciona (x,y,z] linearmente). A tarefa é obter a solução do sistema (pode ser uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma; vamos descobrir).]

Passo 2

O plano aqui é trabalhar com a forma ampliada (matriz aumentada) do sistema e aplicar operações elementares em linhas até obter uma forma escalonada reduzida de onde a solução fica explícita. Antes de começar, vou explicar rapidamente o que são operações elementares de linha e por que podemos usá-las:
  • Operações elementares de linha (que não mudam o conjunto de soluções) são:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo final no método de Gauss-Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha com pivô tem um 1 como primeiro coeficiente não nulo e esse 1 é o único coeficiente não nulo nessa coluna. Aí lemos as equações resultantes diretamente.
Agora montamos a matriz aumentada que representa o sistema.

Passo 3

A matriz aumentada inicial (retirando os sinais e organizando coeficientes e termos independentes) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 4 & 5 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right].
Cada linha corresponde a uma equação: a primeira linha é x+2y+3z=1, etc. Vou agora aplicar operações em linhas para eliminar coeficientes abaixo do primeiro pivô (que é já 1 na primeira linha, primeira coluna).]

Passo 4

Eliminar o 2 na segunda linha e o 1 na terceira linha, coluna da variável x:
Faço
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \qquad\text{e}\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos cada linha:
  • R_2 - 2R_1: (2,4,5\mid1) - 2(1,2,3\mid1) = (2-2,\,4-4,\,5-6\mid 1-2) = (0,0,-1\mid -1).
  • R_3 - R_1: (1,2,2\mid0) - (1,2,3\mid1) = (0,0,-1\mid -1).
A matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right].
Observação: as linhas 2 e 3 ficaram idênticas; isso indica dependência entre as equações e que provavelmente teremos uma variável livre (não há pivô na coluna de y).]

Passo 5

Agora quero um pivô 1 na segunda linha em alguma coluna disponível. Vejo que a segunda linha tem coeficiente -1 na coluna de z, então multiplico a linha 2 por -1 para obter pivô 1:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2.
Isso dá
R_2 = (0,0,1\mid 1).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminar o coeficiente de z na terceira linha e também eliminar o coeficiente de z na primeira linha para obter zeros em toda a coluna de z, excepto no pivô:
Faço
R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \qquad\text{e}\qquad R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2.
  • R_3 + R_2: (0,0,-1\mid -1) + (0,0,1\mid1) = (0,0,0\mid0).
  • R_1 - 3R_2: (1,2,3\mid1) - 3(0,0,1\mid1) = (1,2,0\mid 1-3) = (1,2,0\mid -2).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Esta já é uma forma escalonada reduzida suficiente para ler as equações: há pivô em x (coluna 1) e em z (coluna 3), mas não há pivô em y (coluna 2), então y será variável livre.]

Passo 7

Traduzindo as linhas da matriz de volta para equações:
  • Da primeira linha: 1\cdot x + 2\cdot y + 0\cdot z = -2, ou seja x + 2y = -2.
  • Da segunda linha: 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 1, ou seja z = 1.
  • A terceira linha é 0=0 (não traz nova informação).
Como não há equação que determine y exclusivamente, y é livre. Denotamos y por um parâmetro; usualmente usamos t\in\mathbb{R}. Então seja y=t.

Passo 8

Resolvendo as equações em termos de t:
  • z = 1 (constante).
  • x + 2y = -2 implica x = -2 - 2y = -2 - 2t.
  • y = t.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = (-2 - 2t,\; t,\; 1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos também escrever em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=(-2-2t,\;t,\;1),\quad t\in\mathbb{R}.

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