Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan: \left\{\begin{aligned} x+2 y+3 z & =1 \\\\ 2 x+4 y+5 z & =1 \\\ x+2 y+2 z & =0\end{aligned} \quad(\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo, encontrando todos os x,y,z\) que satisfazem as três equações:
\[\begin{cases} x+2y+3z=1\\[4pt] 2x+4y+5z=1\\[4pt] x+2y+2z=0 \end{cases}
Informações relevantes dadas: as três equações acima (cada uma relaciona (x,y,z] linearmente). A tarefa é obter a solução do sistema (pode ser uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma; vamos descobrir).]
Passo 2
O plano aqui é trabalhar com a forma ampliada (matriz aumentada) do sistema e aplicar operações elementares em linhas até obter uma forma escalonada reduzida de onde a solução fica explícita. Antes de começar, vou explicar rapidamente o que são operações elementares de linha e por que podemos usá-las:
Operações elementares de linha (que não mudam o conjunto de soluções) são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo final no método de Gauss-Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha com pivô tem um 1 como primeiro coeficiente não nulo e esse 1 é o único coeficiente não nulo nessa coluna. Aí lemos as equações resultantes diretamente.
Agora montamos a matriz aumentada que representa o sistema.
Passo 3
A matriz aumentada inicial (retirando os sinais e organizando coeficientes e termos independentes) é
Cada linha corresponde a uma equação: a primeira linha é x+2y+3z=1, etc. Vou agora aplicar operações em linhas para eliminar coeficientes abaixo do primeiro pivô (que é já 1 na primeira linha, primeira coluna).]
Passo 4
Eliminar o 2 na segunda linha e o 1 na terceira linha, coluna da variável x:
Observação: as linhas 2 e 3 ficaram idênticas; isso indica dependência entre as equações e que provavelmente teremos uma variável livre (não há pivô na coluna de y).]
Passo 5
Agora quero um pivô 1 na segunda linha em alguma coluna disponível. Vejo que a segunda linha tem coeficiente -1 na coluna de z, então multiplico a linha 2 por -1 para obter pivô 1:
Eliminar o coeficiente de z na terceira linha e também eliminar o coeficiente de z na primeira linha para obter zeros em toda a coluna de z, excepto no pivô:
Esta já é uma forma escalonada reduzida suficiente para ler as equações: há pivô em x (coluna 1) e em z (coluna 3), mas não há pivô em y (coluna 2), então y será variável livre.]
Passo 7
Traduzindo as linhas da matriz de volta para equações:
Da primeira linha: 1\cdot x + 2\cdot y + 0\cdot z = -2, ou sejax + 2y = -2.
Da segunda linha: 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 1, ou sejaz = 1.
A terceira linha é 0=0 (não traz nova informação).
Como não há equação que determine y exclusivamente, y é livre. Denotamos y por um parâmetro; usualmente usamos t\in\mathbb{R}. Então seja y=t.